Combinatoire
et dénombrement.

Fiche 01 / 21

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 10 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic ne porte que sur les prérequis utiles ici. Tu peux écrire « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Calculer $3+2\times4$, puis $(3+2)\times4$.

2. Écrire $2^3$ comme un produit, puis le calculer.

3. Simplifier $\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}$.

4. Avec deux tee-shirts et trois pantalons, combien de tenues peut-on faire ? Représenter les possibilités si cela aide.

5. Pour un code, AB et BA sont-ils différents ? Pour choisir une équipe formée d’Ana et de Bilal, l’ordre des noms change-t-il l’équipe ?

6. Sur 8 issues équiprobables, 3 réalisent un événement. Quelle est sa probabilité ? Que signifie « équiprobables » ?

Les rappels utiles

Priorités. On calcule les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Ainsi $5+3\times2=5+6=11$.

Puissances. Pour un entier positif $a$ et un entier $k\geq1$, $a^k$ est le produit de $k$ facteurs égaux à $a$. Par exemple, $4^3=4\times4\times4=64$. On pose $a^0=1$. Le symbole $\geq$ signifie « supérieur ou égal à ».

Fractions. La barre de fraction regroupe tout le numérateur et tout le dénominateur. On peut simplifier des facteurs communs non nuls : $$\frac{7\times6\times5}{3\times2} =\frac{7\times(3\times2)\times5}{3\times2}=7\times5=35.$$ On ne supprime pas un terme à travers une addition : $\dfrac{6+2}{2}=4$, et non $6+1$.

Entiers et résultat. Un nombre de possibilités est un entier positif ou nul. Il peut valoir zéro si la situation est impossible. Un dénombrement ne s’exprime pas en mètres ou en secondes : on précise « codes », « groupes », « chemins », selon ce qui est compté.

À retenir

Si D1 à D3 posent problème, retravailler les trois rappels avant les factorielles. Si D4 ou D5 bloque, commencer par dessiner ou lister de petits exemples. Si D6 bloque, poursuivre le dénombrement et reprendre le rappel de probabilités avant la fiche correspondante. Une erreur indique quoi travailler.

Fiche 02 / 21

Compter quoi ? Ensembles et cardinal

Idée essentielle. Dénombrer, c’est déterminer le nombre de résultats différents possibles, sans omission et sans compter deux fois le même résultat. La combinatoire étudie notamment les façons de choisir et d’ordonner des objets.

Un petit vocabulaire pour être précis

Un ensemble est une collection d’éléments. Les accolades servent à l’écrire : $E=\{a,b,c\}$ contient trois éléments. On écrit $a\in E$ pour dire « $a$ appartient à $E$ » et $d\notin E$ pour dire le contraire.

Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments. On note $\operatorname{Card}(E)=3$. L’ensemble vide, noté $\varnothing$, n’a aucun élément : $\operatorname{Card}(\varnothing)=0$.

Dans un ensemble, l’ordre n’intervient pas et un élément n’apparaît qu’une fois : $$\{a,b\}=\{b,a\},\qquad \{a,a,b\}=\{a,b\}.$$ Une partie de $E$ est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à $E$. On note $F\subseteq E$ : « $F$ est inclus dans $E$ ». Par exemple $\{a,c\}\subseteq E$. L’ensemble vide et $E$ lui-même sont aussi des parties de $E$.

Réunir, croiser, exclure

Considérons $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4\}$.

• La réunion $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ contient les éléments de $A$ ou de $B$, y compris ceux des deux.

• L’intersection $A\cap B=\{3\}$ contient les éléments communs.

• $A\setminus B=\{1,2\}$ contient les éléments de $A$ absents de $B$.

Deux ensembles sont disjoints lorsque leur intersection est vide. Si l’ensemble de tous les résultats est $E$ et si $A\subseteq E$, le complémentaire de $A$ dans $E$ est $E\setminus A$.

Exemple expliqué

Pour former un duo parmi Ana, Bilal et Chloé, les résultats sont :

• Ana et Bilal ;

• Ana et Chloé ;

• Bilal et Chloé.

Il y a 3 duos.

Si l’on choisit une présidente ou un président et une secrétaire ou un secrétaire, les rôles distinguent les résultats : Ana à la présidence et Bilal au secrétariat n’est pas la même attribution que l’inverse. Il y en a 6.

À retenir

Avant de calculer, écrire : « Un résultat est…». Puis donner deux exemples et décider s’ils représentent le même résultat. Cette étape détermine si l’ordre compte.

Fiche 03 / 21

Additionner ou multiplier ?

Additionner des cas qui ne se recouvrent pas

Une boutique propose 4 carnets et 3 agendas différents. On choisit un seul article, carnet ou agenda : il y a $4+3=7$ choix.

Principe additif. Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis disjoints, alors $$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B).$$ Pour plusieurs catégories deux à deux disjointes, on additionne leurs cardinaux. « Deux à deux » signifie que deux catégories différentes n’ont aucun élément en commun.

Si des éléments sont communs, ils seraient comptés deux fois : $$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B).$$ Par exemple, 12 élèves pratiquent la musique, 9 le théâtre et 4 les deux. Le nombre d’élèves pratiquant au moins une de ces activités est $12+9-4=17$. Les 4 élèves communs doivent être comptés une seule fois.

Multiplier des choix successifs

Pour choisir un carnet et un stylo, avec 4 carnets et 3 stylos possibles pour chaque carnet, il y a $4\times3=12$ associations.

Principe multiplicatif. Si une construction comporte plusieurs étapes, avec un nombre fixé de possibilités à chaque étape quel que soit le choix antérieur, on multiplie ces nombres. Les options peuvent changer : c’est leur nombre qui doit rester le même à l’étape considérée.

Exemple expliqué

Une formule comprend une entrée et un plat. Deux entrées sont proposées, et chacune peut être associée à l’un des trois plats P1, P2, P3.

	P1	P2	P3
Entrée E1	(E1,P1)	(E1,P2)	(E1,P3)
Entrée E2	(E2,P1)	(E2,P2)	(E2,P3)

Chaque case est une formule complète. Deux lignes de trois cases donnent $2\times3=6$ formules.

Si une entrée autorise 3 plats et l’autre seulement 2, il faut séparer les deux cas : $3+2=5$ formules. Un produit $2\times3$ serait faux.

À retenir

On additionne des catégories sans recouvrement ; on multiplie les nombres de choix pour construire un résultat en plusieurs étapes. Les mots « ou » et « et » sont des indices, pas des règles automatiques.

Fiche 04 / 21

Couples, produits cartésiens et listes

Des positions qui ont un rôle

Un couple est une liste de deux éléments : $(a,b)$. La première et la seconde position sont distinguées. Ainsi $(a,b)\ne(b,a)$ si $a\ne b$, où $\ne$ signifie « différent de ». Un triplet a trois positions. Une $k$-liste, ou $k$-uplet, en a $k$, où $k$ est un entier positif ou nul.

Exemple. Une taille et une couleur donnent un couple $(\text{M},\text{bleu})$. Si $A=\{\text{S},\text{M},\text{L}\}$ et $B=\{\text{bleu},\text{noir}\}$, le produit cartésien $A\times B$ est l’ensemble de tous les couples dont le premier élément est dans $A$ et le second dans $B$. $$\operatorname{Card}(A\times B)=\operatorname{Card}(A)\times\operatorname{Card}(B)=3\times2=6.$$ Pour des ensembles finis $A_1,\ldots,A_k$, les indices numérotent les ensembles et les points indiquent qu’on poursuit de la même façon : $$\operatorname{Card}(A_1\times\cdots\times A_k) =\operatorname{Card}(A_1)\times\cdots\times\operatorname{Card}(A_k).$$ Les notions de couple et de produit cartésien existent aussi pour des ensembles infinis ; ici, on ne dénombre que des ensembles finis.

Répétitions autorisées : autant de choix à chaque position

On note $A^k$ l’ensemble des $k$-listes d’éléments d’un même ensemble $A$. Si $A$ possède $n\geq1$ éléments, chaque position offre $n$ choix : $$\boxed{\operatorname{Card}(A^k)=n^k.}$$ Pour $k=0$, il existe une unique liste vide, ce qui correspond à $n^0=1$.

Exemple expliqué

Un code comporte 3 chiffres choisis parmi 0, 1, 2, 3. Le zéro initial et les répétitions sont autorisés : 003 est un code possible. $$\begin{aligned} \text{Nombre de codes}&=4\times4\times4 &&\text{(trois positions)}\\ &=4^3\\ &=64. \end{aligned}$$ Il y a 64 codes. En écrire quelques-uns (000, 001, 010) permet de vérifier que l’ordre et les répétitions sont bien pris en compte.

À retenir

$n^k$ compte des listes de longueur $k$, ordonnées, avec répétitions autorisées, choisies parmi $n$ éléments à chaque position. Un nombre à trois chiffres, lui, ne peut pas commencer par zéro.

Fiche 05 / 21

Listes sans répétition et factorielles

Quand un choix enlève une possibilité

Huit personnes participent à une course sans ex æquo. Un podium indique la première, la deuxième et la troisième place. On ne peut pas occuper deux places. $$\begin{aligned} \text{Nombre de podiums}&=8\times7\times6\\ &=56\times6\\ &=336. \end{aligned}$$ Après chaque choix, il reste une personne de moins. Même si les noms disponibles changent, le nombre de personnes restantes est fixé.

Pour $n$ éléments distincts et $1\leq k\leq n$, le nombre de $k$-listes d’éléments distincts vaut $$\boxed{n(n-1)\cdots(n-k+1).}$$ Il y a $k$ facteurs. Le dernier est $n-k+1$, car avant le $k$-ième choix, $k-1$ éléments ont déjà été utilisés. Ces listes sont aussi appelées arrangements sans répétition.

La factorielle : une écriture abrégée

Pour un entier $n\geq1$, la factorielle de $n$, notée $n!$, est $$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1.$$ Par exemple $4!=4\times3\times2\times1=24$. Par convention, $0!=1$. Le signe « ! » a ici un sens mathématique, ce n’est pas une ponctuation.

Exemple expliqué

Pour retrouver le nombre de podiums, on simplifie les facteurs communs : $$\begin{aligned} \frac{8!}{(8-3)!}&=\frac{8!}{5!}\\ &=\frac{8\times7\times6\times5!}{5!}\\ &=8\times7\times6=336. \end{aligned}$$ On ne calcule pas les deux grandes factorielles séparément.

À retenir

Pour $0\leq k\leq n$, le nombre de listes sans répétition est $\dfrac{n!}{(n-k)!}$. Pour $k=0$, on compte la liste vide : il y en a une. Pour $k>n$, le choix est impossible : il y a zéro liste sans répétition, et on n’utilise pas une factorielle d’entier négatif.

Fiche 06 / 21

Permutations : ranger tous les éléments

Idée essentielle. Une permutation est un rangement de tous les éléments d’un ensemble fini, chacun utilisé exactement une fois.

Exemple expliqué

Avec trois livres distincts A, B et C, les rangements en ligne sont ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA. Il y en a 6.

Le premier emplacement offre 3 choix, le deuxième 2, et le dernier 1 : $$3\times2\times1=3!=6.$$ L’énumération et le produit donnent le même résultat.

Pour $n$ éléments distincts, il y a donc $$\boxed{n!\text{ permutations}.}$$ C’est le cas $k=n$ des listes sans répétition : $\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=n!$. Il y a un seul rangement de zéro objet : le rangement vide.

Une contrainte : deux livres doivent rester côte à côte

On range cinq livres distincts A, B, C, D, E sur une étagère. On veut que A et B soient côte à côte, dans l’un ou l’autre ordre.

1. Regrouper A et B en un bloc. Il reste quatre objets à ranger : le bloc, C, D, E. Cela donne $4!$ rangements.

2. Dans le bloc, il y a deux ordres : AB et BA.

3. Chaque rangement final provient d’un unique rangement des blocs et d’un unique ordre interne : on peut multiplier sans compter deux fois.

$$\begin{aligned} \text{Nombre de rangements}&=4!\times2\\ &=(4\times3\times2\times1)\times2\\ &=24\times2=48. \end{aligned}$$ Contrôle. Sans contrainte, il y aurait $5!=120$ rangements. Le résultat 48 est bien inférieur à 120.

Attention à ce qui est distinct. Pour les lettres du mot MAMAN, $5!$ compterait les deux M et les deux A comme différents. Chaque mot visible serait compté $2!\times2!$ fois, d’où $\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$ mots distincts. C’est une application du principe de correction d’un comptage multiple, à aborder après le cas des objets distincts.

À retenir

On utilise $n!$ pour ranger en ligne $n$ objets tous distincts. Vérifier les éventuelles contraintes avant de calculer.

Fiche 07 / 21

Combinaisons : choisir un groupe sans ordre

Pourquoi doit-on diviser ?

On choisit un duo parmi cinq personnes distinctes A, B, C, D, E. Si l’on choisit une première personne puis une deuxième, on obtient $5\times4=20$ listes. Mais AB et BA donnent le même duo. Chaque duo a été compté exactement $2!=2$ fois : il y a $20/2=10$ duos.

Pour un groupe de trois, les six listes ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA désignent toutes le même groupe $\{A,B,C\}$. Chaque groupe de $k$ personnes a exactement $k!$ ordres possibles.

Définition et formule

Pour des entiers $n\geq0$ et $0\leq k\leq n$, une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est une partie à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments. Son nombre est le coefficient binomial $\binom{n}{k}$, lu « $k$ parmi $n$ ». Le nombre total $n$ est écrit en haut. $$\boxed{\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.}$$ Pour $k\geq1$, on peut aussi écrire $$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.$$ Justification. Le numérateur compte les listes sans répétition ; la division par $k!$ retire les différents ordres de chaque même groupe.

Exemple expliqué

Une association de 8 personnes choisit 3 représentantes ou représentants, sans attribuer de rôles. L’ordre des noms ne change pas le groupe. $$\begin{aligned} \text{Nombre de groupes}&=\binom{8}{3}\\ &=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}\\ &=\frac{336}{6}\\ &=56. \end{aligned}$$ Il y a 56 groupes. Contrôle : $56\times3!=336$ redonne le nombre de listes ordonnées de trois personnes.

À retenir

Une combinaison est un choix sans ordre et sans répétition. Si les personnes ont des rôles différents, ce n’est plus le même objet à compter.

Fiche 08 / 21

Coefficients binomiaux : premières propriétés

Cas à comprendre avant de les mémoriser

Pour $n\geq0$, $$\binom{n}{0}=1\qquad\text{et}\qquad\binom{n}{n}=1.$$ Il y a un seul choix de zéro élément : l’ensemble vide. Il y a un seul choix de tous les éléments : l’ensemble entier. En particulier $\binom00=1$.

Pour $n\geq1$, $\binom n1=n$ : choisir un élément donne $n$ possibilités. Pour $n\geq2$, $$\binom n2=\frac{n(n-1)}{2}.$$ On compte les couples d’éléments distincts puis on divise par les deux ordres de chaque paire. Ainsi $\binom62=6\times5/2=15$.

Symétrie : choisir ou laisser de côté

Choisir 2 personnes parmi 7 revient à désigner les 5 personnes non choisies. À chaque choix de 2 correspond un unique choix de 5, et inversement. On parle d’une bijection : une correspondance un à un dans les deux sens. Pour $0\leq k\leq n$, $$\boxed{\binom nk=\binom n{n-k}.}$$ On peut aussi vérifier la formule en échangeant $k!$ et $(n-k)!$ au dénominateur. Par exemple, $$\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45.$$ La symétrie raccourcit les calculs.

Utiliser la calculatrice après avoir choisi la méthode

La fonction de combinaison peut être notée nCr, combinaison ou autrement selon le modèle. Vérifier dans la notice l’ordre des arguments : $n$ est le nombre disponible, $k$ le nombre choisi. Contrôler d’abord sur $\binom52=10$. Aucun réglage degrés/radians n’intervient dans un dénombrement.

Les factorielles deviennent vite grandes ; la fonction de combinaison évite souvent des calculs intermédiaires inutiles. Un affichage arrondi en notation scientifique peut ne pas donner tous les chiffres de l’entier exact. Garder une expression comme $\binom{30}{12}$ si une valeur exacte est demandée.

À retenir

Un coefficient binomial compte des groupes : c’est un entier. Avant de valider l’affichage, vérifier l’ordre des paramètres et le sens du choix.

Fiche 09 / 21

La relation de Pascal et ses deux démonstrations

Compter selon la présence d’une personne

Pour choisir 3 personnes parmi 6, isolons Ana et distinguons deux cas :

• Ana est choisie : il reste à choisir 2 personnes parmi les 5 autres, soit $\binom52=10$ groupes.

• Ana n’est pas choisie : on choisit les 3 personnes parmi les 5 autres, soit $\binom53=10$ groupes.

Les cas sont disjoints et couvrent tous les groupes : $\binom63=10+10=20$.

Preuve générale par dénombrement. Parmi $n+1$ éléments, on en distingue un. Les groupes de taille $k$ le contenant correspondent aux groupes de taille $k-1$ parmi les $n$ autres ; ceux ne le contenant pas sont les groupes de taille $k$ parmi ces $n$ autres. Pour $n\geq1$ et $1\leq k\leq n$, le principe additif donne la relation de Pascal : $$\boxed{\binom{n+1}{k}=\binom n{k-1}+\binom nk.}$$

Preuve par le calcul

Avec les mêmes conditions, on met au dénominateur commun $k!(n-k+1)!$. On utilise $k!=k(k-1)!$ et $(n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!$. $$\begin{aligned} \binom n{k-1}+\binom nk &=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=\frac{k\,n!+(n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!}\\ &=\frac{(n+1)n!}{k!(n-k+1)!}\\ &=\frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}. \end{aligned}$$

Le triangle de Pascal

Chaque ligne commence et finit par 1. Un coefficient intérieur est la somme des deux coefficients de la ligne précédente situés aux colonnes $k-1$ et $k$. Les cases vides sont hors du domaine $0\leq k\leq n$.

Pour obtenir $\binom42=6$, on additionne $\binom31=3$ et $\binom32=3$.

Fiche 10 / 21

Parties d’un ensemble, mots binaires et chemins

Choisir ou ne pas choisir chaque élément

Pour $E=\{a,b,c\}$, les parties sont $$\varnothing,\quad\{a\},\quad\{b\},\quad\{c\},\quad \{a,b\},\quad\{a,c\},\quad\{b,c\},\quad\{a,b,c\}.$$ Il y en a 8. Fixons l’ordre $a,b,c$. On code chaque partie par trois chiffres : 1 si l’élément est choisi, 0 sinon. La partie $\{a,c\}$ correspond à 101 ; l’ensemble vide correspond à 000.

Ce code est un mot binaire : une liste de symboles choisis parmi 0 et 1. À chaque partie correspond un seul mot, et inversement. Pour $n$ éléments, chacun des $n$ emplacements offre 2 choix. Ainsi, $$\boxed{\text{Nombre de parties d'un ensemble à }n\text{ éléments}=2^n.}$$ Cela vaut aussi pour $n=0$ : l’ensemble vide a une seule partie, lui-même.

Sommer les coefficients binomiaux : une preuve à connaître

Les parties se répartissent selon leur taille : 0, 1, 2, jusqu’à $n$. Ces catégories sont disjointes et contiennent toutes les parties. La catégorie de taille $k$ contient $\binom nk$ parties. D’où $$\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n.}$$ Le symbole $\sum$ signifie ici additionner les termes pour tous les entiers $k$ de 0 à $n$ : $\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn$. Pour $n=3$, cela donne $1+3+3+1=8=2^3$.

À retenir

Une partie, un mot binaire et un chemin dans l’arbre codent le même choix. Avec exactement $k$ chiffres 1 parmi $n$ positions, il y a $\binom nk$ mots : on choisit les positions des 1.

Fiche 11 / 21

Choisir sa méthode et traiter des contraintes

Méthode

Décrire un résultat ; décider si l’ordre compte ; vérifier si un élément peut être réutilisé ; repérer les contraintes ; compter et contrôler.

Dans les formules sans répétition, $0\leq k\leq n$. Pour $n^k$, on suppose $n\geq1$. Les cas impossibles se traitent séparément. Les groupes avec répétition ne relèvent pas de $\binom nk$ : voir le complément.

« Au moins un » : compter le contraire

Un code comporte 4 chiffres de 0 à 9, zéro initial et répétitions autorisés. On cherche les codes contenant au moins un zéro, c’est-à-dire un, deux, trois ou quatre zéros. $$\begin{aligned} \text{Tous les codes}&:10^4=10\,000,\\ \text{Codes sans aucun zéro}&:9^4=6\,561,\\ \text{Codes avec au moins un zéro}&:10^4-9^4=3\,439. \end{aligned}$$ Le complément évite de séparer quatre cas. « Au moins un » ne signifie pas « exactement un ». « Au plus deux » signifie zéro, un ou deux.

« Exactement » : imposer les quantités dans chaque catégorie

Parmi 5 débutants et 4 confirmés, tous distincts, on veut un groupe de 3 personnes contenant exactement 2 débutants. $$\binom52\binom41=10\times4=40.$$ On choisit 2 personnes dans la première catégorie et 1 dans la seconde. Chaque groupe final détermine ces deux choix de façon unique. Il ne faut pas multiplier encore par $3!$, car on ne distribue pas de rôles.

À retenir

Le résultat doit être entier et ne pas dépasser le nombre de résultats sans contrainte. Une petite liste à la main aide à repérer un double comptage.

Fiche 12 / 21

Lien avec les probabilités

Rappel : compter ne suffit pas toujours

L’univers, noté $\Omega$, est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Un événement $A$ est une partie de cet univers. Sa probabilité, notée $P(A)$, est comprise entre 0 et 1.

Si l’univers est fini, non vide, et que toutes les issues ont la même probabilité (équiprobabilité), alors $$P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} =\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.$$ Il faut compter le même type d’objets au numérateur et au dénominateur. Un tirage « au hasard » doit préciser le modèle permettant l’équiprobabilité.

Exemple expliqué

Un sac contient 5 boules rouges et 3 bleues, distinguables par des numéros. On choisit simultanément 3 boules, chaque groupe de 3 ayant la même probabilité. Soit $A$ l’événement « obtenir exactement 2 rouges ». $$\begin{aligned} \operatorname{Card}(\Omega)&=\binom83=56 &&\text{(groupes sans ordre)},\\ \operatorname{Card}(A)&=\binom52\binom31=10\times3=30 &&\text{(2 rouges et 1 bleue)},\\ P(A)&=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx0{,}536. \end{aligned}$$ La probabilité vaut exactement $15/28$, soit environ $53{,}6\,\%$. Le symbole $\approx$ signale un arrondi ; $=$ exprime une égalité exacte. Le résultat est bien entre 0 et 1. Compter seulement les couleurs ne donnerait pas des issues équiprobables.

Vers la loi binomiale : compter les positions des succès

Une épreuve de Bernoulli possède deux résultats, appelés succès et échec. On répète $n\geq1$ fois une telle épreuve, avec une même probabilité de succès $p$, où $0<p<1$, et des épreuves indépendantes : les résultats passés ne changent pas les probabilités des suivantes.

La variable $X$ compte le nombre de succès. Un chemin avec exactement $k$ succès a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ : on multiplie les probabilités le long du chemin grâce à l’indépendance. Il y a $\binom nk$ chemins de cette sorte, selon les positions des succès. Donc $$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad 0\leq k\leq n.$$ Pour $n=3$, $p=0{,}2$ et $k=1$, les chemins sont SEE, ESE, EES : $P(X=1)=3\times0{,}2\times0{,}8^2=0{,}384$. Si $p=0$, il n’y a aucun succès ; si $p=1$, il y en a toujours $n$. Cette passerelle sera reprise dans le cours de probabilités ; un tirage sans remise ne satisfait généralement pas ces conditions.

Fiche 13 / 21

Algorithmique : construire et vérifier

Prérequis ciblés. Une liste Python se note avec des crochets. ligne[j] lit l’élément d’indice j, en commençant à 0. Une boucle for répète des instructions ; l’indentation les regroupe. range(a, b) parcourt les entiers de a à b-1. append ajoute un élément en fin de liste ; return renvoie le résultat d’une fonction. Dans le code, = affecte une valeur.

Générer une ligne du triangle de Pascal

On part de la ligne 0, contenant seulement 1. Pour passer à la suivante, on écrit 1, puis les sommes de deux voisins, puis 1.

def ligne_pascal(n):
    # n est un entier positif ou nul.
    ligne = [1]
    for r in range(1, n + 1):
        nouvelle = [1]
        for j in range(1, r):
            nouvelle.append(ligne[j - 1] + ligne[j])
        nouvelle.append(1)
        ligne = nouvelle
    return ligne

ligne_pascal(4) renvoie [1, 4, 6, 4, 1]. À l’étape r, la nouvelle liste contient les coefficients de la ligne r, car les bords valent 1 et les autres suivent Pascal. On utilise une nouvelle liste pour garder intacte la ligne précédente.

Générer toutes les paires sans répétition

Pour objets = ["A", "B", "C", "D"], on ne retient que les indices i < j : cela évite AA et évite de compter AB puis BA.

def paires(objets):
    resultat = []
    n = len(objets)  # len donne la longueur de la liste.
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            resultat.append((objets[i], objets[j]))
    return resultat

Il faut fournir des objets tous distincts. Le résultat contient $(A,B)$, $(A,C)$, $(A,D)$, $(B,C)$, $(B,D)$, $(C,D)$, donc $\binom42=6$ paires. Pour les triplets, on ajoute une boucle avec un troisième indice strictement supérieur à j.

Générer des permutations

La bibliothèque standard Python fournit itertools.permutations :

from itertools import permutations
rangements = list(permutations(["A", "B", "C"]))

On obtient les six rangements des trois objets. Générer toutes les possibilités ne convient qu’aux petits ensembles : $10!=3\,628\,800$ rangements !

Fiche 14 / 21

Exercices d’apprentissage : prendre les bons réflexes

Chercher sur une feuille séparée. Pour chaque question, écrire ce qui est compté avant de calculer. Les indices se trouvent dans la fiche « Indices ».

Fiche 15 / 21

Exercices d’entraînement : choisir et justifier

Fiche 16 / 21

Exercices guidés : contraintes, probabilités et algorithmes

Fiche 17 / 21

Synthèse : entraînement à la rédaction du bac

Fiche 18 / 21

Indices : une aide avant la correction

Lire seulement l’indice nécessaire, puis revenir à sa feuille.

Fiche 19 / 21

Bilan, erreurs utiles et rappels différés

Repérer la nature d’une erreur

Erreur de calcul

La méthode est correcte, mais $\binom83=336/6$ est mal calculé. Conserver le raisonnement, reprendre la division puis vérifier en multipliant le résultat par 6.

Erreur de méthode

Utiliser $8^3$ pour un podium alors qu’une personne ne peut pas occuper deux places. Écrire les choix restants : 8, 7, 6.

Incompréhension de la notion

Traiter AB et BA comme deux équipes. Revenir à deux personnes concrètes et décrire ce qui change, ou ne change pas, quand les noms sont inversés. Pour un podium, les places changeraient le résultat.

Autres points à surveiller. Ne pas additionner des cas qui se recouvrent sans correction ; ne pas oublier le groupe vide ; ne pas confondre exactement et au moins ; ne pas mélanger groupes et listes dans une fraction de probabilité ; ne pas appliquer la loi binomiale sans vérifier les conditions de répétition.

Auto-évaluation sans note

Pour chaque affirmation, écrire « seule », « avec un indice » ou « à reprendre ».

• Je sais expliquer pourquoi un exemple exige une addition ou un produit.

• Je sais distinguer un code, un podium, un rangement et un groupe.

• Je sais simplifier une fraction de factorielles et calculer $\binom nk$.

• Je sais expliquer la symétrie, Pascal et la somme des coefficients.

• Je sais utiliser le complément pour « au moins un ».

• Je sais justifier une probabilité à partir d’issues équiprobables.

Pour un point « à reprendre », refaire un exemple avec trois objets, puis une question correspondante des exercices. Une formule retenue sans son sens doit être retravaillée sur un petit cas.

Questions à reprendre sans le cours

Le lendemain – 5 min. Pourquoi $3^2$ ne compte-t-il pas les duos parmi 3 personnes ? Combien de codes de deux chiffres binaires existe-t-il ? Expliquer $\binom40$. Indice : ordre, répétition, puis choix vide.

Trois jours après – 5 min. Parmi 6 personnes, combien de groupes de 2 ? Combien d’attributions de deux rôles distincts ? Expliquer le rapport des deux nombres. Indice : chaque groupe a deux ordres.

Une semaine après – 10 min. Compter les mots de longueur 5 sur $\{0,1\}$ avec exactement deux 1, puis au moins un 1. Retrouver la relation de Pascal en distinguant les choix qui contiennent un élément donné. Indice : positions, complément, puis deux cas disjoints.

Pour poursuivre. Refaire les exercices 6, 9 et la synthèse A–B en justifiant les méthodes avant d’approfondir les probabilités.

Fiche 20 / 21

Complément facultatif : choisir avec répétition, sans ordre

Statut. Les combinaisons avec répétition sont proposées comme approfondissement possible dans le programme retenu. Cette fiche peut être laissée de côté lors d’une première lecture.

Un exemple qui ne rentre pas dans la formule habituelle

On choisit 3 boules de glace parmi 2 parfums, vanille V et chocolat C. Les parfums peuvent se répéter, et l’ordre des boules ne compte pas. Les compositions possibles sont VVV, VVC, VCC et CCC : il y en a 4. On ne compte ni des listes (VVC et VCV sont la même composition), ni des parties (un parfum peut être choisi plusieurs fois).

Coder les quantités par des étoiles et des séparateurs

Pour 3 parfums dans l’ordre fixé vanille, chocolat, fraise, le choix de 2 vanille, 0 chocolat et 1 fraise peut être codé par $$\star\star\mid\mid\star.$$ Les étoiles représentent les boules ; les deux barres séparent les trois parfums. Deux barres voisines signifient zéro boule pour le parfum intermédiaire. Une barre au début ou à la fin permet aussi une quantité nulle.

En général, pour $n\geq1$ types d’objets et $k\geq0$ objets choisis avec répétition sans limite de stock, il faut $k$ étoiles et $n-1$ barres. Cela fait $n+k-1$ positions. Choisir les $k$ positions des étoiles détermine toutes les quantités et réciproquement. Le nombre de choix est donc $$\boxed{\binom{n+k-1}{k}.}$$ Pour 3 boules parmi 2 parfums, on retrouve $\binom43=4$. Pour 3 boules parmi 3 parfums, on obtient $\binom53=\binom52=10$ compositions.

À retenir

Cette formule suppose un ordre indifférent, des répétitions autorisées et l’absence de limite de stock pour chaque type. Elle ne remplace pas $\binom nk$ pour des groupes de personnes distinctes.

Entraînement facultatif

Compétence : reconnaître un choix avec répétition. Prérequis : codage par étoiles et barres. On choisit 2 biscuits parmi 3 sortes disponibles sans limite de stock. Donner d’abord un choix contenant deux biscuits de la même sorte, puis dénombrer les compositions sans tenir compte de l’ordre. Indice : coder deux étoiles et deux barres ; la correction figure dans le fascicule séparé.

Fiche 21 / 21

Références

Références et portée du document

• Ministère de l’Éducation nationale, programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019 : texte de l’arrêté.

• Annexe officielle du programme de 2019, pages 6 et 7 du PDF : rubrique « Combinatoire et dénombrement ».

• Ministère de l’Éducation nationale, arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026. L’article 2 fixe l’entrée en application à la rentrée scolaire 2027–2028.

Références vérifiées pour cette version HTML le 3 octobre 2026. Si la session de bac visée est postérieure à 2027, vérifier le programme applicable à cette session.

Le cours couvre les objets et les propriétés de dénombrement du programme retenu, notamment les deux preuves de Pascal et la preuve par dénombrement de la somme des coefficients binomiaux. La fiche de probabilités fait le lien avec un autre chapitre ; elle ne constitue pas un cours complet sur la loi binomiale.

Version HTML adaptée de cours.pdf, avec animations pédagogiques ajoutées. Les exercices et leurs corrections conservent leur numérotation.