Représentations paramétriques
et équations cartésiennes.

Fiche 01 / 07

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Avec $A\left(1\,;\,-2\,;\,3\right)$ et $B\left(4\,;\,0\,;\,-1\right)$, calculer $\overrightarrow{AB}$.

2. Résoudre l’équation $3t-4=11$.

3. Soient $A\left(1\,;\,2\,;\,0\right)$ et $\vec u=(2;-1;3)$. Calculer les coordonnées du point $A+2\vec u$.

4. Le point $M\left(2\,;\,1\,;\,0\right)$ appartient-il au plan d’équation $x+2y-z-4=0$ ? Et le point $N\left(0\,;\,1\,;\,0\right)$ ?

5. Les vecteurs $\vec u=(2;-1;3)$ et $\vec v=(-4;2;-6)$ sont-ils colinéaires ?

6. Donner un vecteur normal au plan d’équation $3x-y+2z-5=0$.

7. Calculer $\vec u\mathbin{\cdot}\vec v$ pour $\vec u=(1;2;-1)$ et $\vec v=(2;-1;0)$. Que peut-on en déduire ?

Corrections du diagnostic →

Les prérequis indispensables

Coordonnées d’un vecteur. Dans un repère de l’espace, si $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$ et $B\left(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B\right)$, alors $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A).$$ On retient « arrivée moins départ ». Par exemple, $$\overrightarrow{AB}=(4-1\,;\,0-(-2)\,;\,-1-3)=(3;2;-4).$$

Résoudre une équation. On transforme les deux membres de la même façon : $$3t-4=11 \quad\Longleftrightarrow\quad 3t=15 \quad\Longleftrightarrow\quad t=5.$$

Produit scalaire. Pour $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(a';b';c')$, dans un repère orthonormé, $$\vec u\mathbin{\cdot}\vec v=aa'+bb'+cc'.$$ Si le résultat est nul, les deux vecteurs non nuls sont orthogonaux. Cette idée permettra de reconnaître un vecteur normal à un plan.

Colinéarité. Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’il existe un réel $k$ tel que $\vec v=k\vec u$. Ils donnent alors la même direction, même si leurs sens sont opposés.

Repère orthonormé. Les trois axes sont perpendiculaires deux à deux et utilisent la même unité de longueur. C’est le cadre supposé dans ce cours.

À retenir

Dans un calcul de géométrie repérée, commencer par identifier ce que représente chaque nombre : une coordonnée de point, une coordonnée de vecteur, un paramètre ou un coefficient d’équation.

Fiche 02 / 07

1. Une droite décrite par un paramètre

L’idée essentielle : un seul nombre pour se déplacer

Pour décrire une droite, on choisit un point de départ $A$ et une direction non nulle $\vec u$. Un nombre réel $t$, appelé le paramètre, indique jusqu’où l’on se déplace dans cette direction.

Définition et écriture coordonnée

Soit $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$ un point et soit $\vec u=(a;b;c)$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ est l’ensemble des points $$M(t)=A+t\vec u, \qquad t\in\mathbb{R}.$$ Le même énoncé, coordonnée par coordonnée, s’écrit $$\boxed{ d:\quad \begin{cases} x=x_A+at,\\ y=y_A+bt,\\ z=z_A+ct, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.}$$

Le vecteur $\vec u$ doit être non nul : sinon les trois coordonnées restent fixes et l’on obtient un seul point, pas une droite.

Exemple entièrement détaillé

On considère le point $A\left(1\,;\,-1\,;\,2\right)$ et le vecteur directeur $\vec u=(2;3;-1)$. La droite est $$d:\quad \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-1+3t,\\ z=2-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.$$

Pour $t=0$, on retrouve $A\left(1\,;\,-1\,;\,2\right)$. Pour $t=2$, on obtient $$M(2)\left(1+2\times 2\,;\,-1+3\times 2\,;\,2-2\right) =\left(5\,;\,5\,;\,0\right).$$ Pour $t=-1$, on obtient $$M(-1)\left(1-2\,;\,-1-3\,;\,2+1\right)=\left(-1\,;\,-4\,;\,3\right).$$ Les valeurs positives et négatives du paramètre parcourent les deux côtés de la droite.

Construire une droite avec deux points

Pour construire la droite passant par deux points distincts $A$ et $B$, on choisit le vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ : $$\boxed{\text{droite }(AB):\quad M=A+t\overrightarrow{AB},\quad t\in\mathbb{R}.}$$ Il faut vérifier que $A\ne B$, afin que $\overrightarrow{AB}$ ne soit pas le vecteur nul.

Exemple entièrement détaillé

Soient $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$ et $B\left(3\,;\,-2\,;\,1\right)$. On calcule d’abord le vecteur directeur : $$\overrightarrow{AB}=(3-1\,;\,-2-0\,;\,1-2)=(2;-2;-1).$$ Une représentation paramétrique de $(AB)$ est donc $$(AB):\quad \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-2t,\\ z=2-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.$$ Pour contrôler le calcul, $t=0$ donne $A$, et $t=1$ donne $B\left(3\,;\,-2\,;\,1\right)$. La représentation passe bien par les deux points.

Reconnaître un point de la droite

Pour savoir si un point $P\left(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P\right)$ appartient à une droite donnée par trois expressions en $t$, on cherche une même valeur de $t$ qui convient aux trois coordonnées.

Méthode

1. Utiliser une coordonnée simple pour trouver une valeur possible de $t$.

2. Remplacer cette valeur dans les deux autres coordonnées.

3. Si les trois égalités sont vérifiées, le point appartient à la droite ; sinon, il n’y appartient pas.

Exemple entièrement détaillé

Pour la droite $$d:\quad \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-1+3t,\\ z=2-t, \end{cases}$$ testons $P\left(5\,;\,5\,;\,0\right)$. La première coordonnée donne $1+2t=5$, donc $t=2$. Avec cette valeur, $$-1+3\times2=5 \qquad\text{et}\qquad 2-2=0.$$ Les trois coordonnées conviennent : $P\in d$.

Pour $Q\left(5\,;\,4\,;\,0\right)$, la première coordonnée impose encore $t=2$, mais la deuxième donnerait $-1+3\times2=5\ne4$. Il n’existe donc pas de paramètre commun et $Q\notin d$.

Une droite peut avoir plusieurs représentations

Le choix du point et du vecteur directeur n’est pas unique. On peut :

• partir de n’importe quel point de la droite ;

• remplacer $\vec u$ par $k\vec u$, avec $k\ne0$, en changeant éventuellement le paramètre.

Ainsi, $$(1;2;0)+t(2;-1;3)$$ et $$(5;0;6)+s(4;-2;6)$$ décrivent la même droite : le second point correspond à $t=2$, et le second vecteur vaut $2\vec u$.

À retenir

Pour une droite, retenir la chaîne $$\text{point de départ}+\text{paramètre}\times\text{vecteur directeur}$$. Dans la forme coordonnée, le même paramètre $t$ doit apparaître dans les trois lignes.

Fiche 03 / 07

2. Une équation cartésienne de plan

L’idée essentielle : le vecteur normal filtre les points

Un plan possède deux directions indépendantes. Un vecteur $\vec n$ est normal au plan lorsqu’il est perpendiculaire à toutes ses directions. Pour un point $M$, dire que $M$ est dans le plan passant par $A$ revient à dire que $\overrightarrow{AM}$ est perpendiculaire à $\vec n$.

Formule à connaître et à comprendre

Soit $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$ un point et soit $\vec n=(a;b;c)\ne\vec0$ un vecteur normal. Pour un point quelconque $M\left(x\,;\,y\,;\,z\right)$, $$\overrightarrow{AM}=(x-x_A\,;\,y-y_A\,;\,z-z_A).$$ La condition d’appartenance au plan est $$\overrightarrow{AM}\mathbin{\cdot}\vec n=0.$$ En développant le produit scalaire, on obtient $$\boxed{a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.}$$

Après développement, cette équation prend la forme $$\boxed{ax+by+cz+d=0,}$$ où $d$ est une constante. Les trois coefficients $a,b,c$ ne doivent pas être simultanément nuls.

Exemple entièrement détaillé

On cherche une équation du plan $\mathcal P$ passant par $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$ et normal au vecteur $\vec n=(2;-1;1)$.

Soit $M\left(x\,;\,y\,;\,z\right)$ un point quelconque. On écrit le vecteur qui relie $A$ à $M$ : $$\overrightarrow{AM}=(x-1\,;\,y\,;\,z-2).$$ On traduit l’orthogonalité avec $\vec n$ : $$\begin{aligned} \overrightarrow{AM}\mathbin{\cdot}\vec n=0 &\Longleftrightarrow 2(x-1)-y+(z-2)=0\\ &\Longleftrightarrow 2x-y+z-4=0. \end{aligned}$$ Ainsi, $$\boxed{\mathcal P:\ 2x-y+z-4=0.}$$

Contrôle du point connu : $2\times1-0+2-4=0$. Les coordonnées de $\vec n$ sont bien les coefficients de $x$, $y$, $z$.

Reconnaître un plan et vérifier une appartenance

Pour un plan $\mathcal P: ax+by+cz+d=0$, un vecteur normal est $$\boxed{\vec n=(a;b;c).}$$ Un multiple non nul de ce vecteur convient également. Par exemple, $(2;-1;1)$ et $(-4;2;-2)$ sont deux vecteurs normaux au même plan.

Pour tester si $P\left(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P\right)$ appartient à $\mathcal P$, on remplace les trois variables par les coordonnées de $P$. Il faut obtenir exactement zéro, et non une valeur seulement « proche » de zéro dans un calcul exact.

Exemple entièrement détaillé

Dans le plan $\mathcal P:2x-y+z-4=0$, testons $P\left(2\,;\,1\,;\,0\right)$ et $Q\left(1\,;\,1\,;\,1\right)$. $$\begin{aligned} P&:\quad 2\times2-1+0-4=-1\ne0,\\ Q&:\quad 2\times1-1+1-4=-2\ne0. \end{aligned}$$ Ni $P$ ni $Q$ n’appartient à ce plan. En revanche, le point $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$ de l’exemple donne bien zéro.

Quand le vecteur normal n’est pas donné

Si un plan contient trois points non alignés $A$, $B$ et $C$, on peut chercher un vecteur normal $\vec n=(a;b;c)$ en utilisant les deux directions du plan $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\vec n\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AB}=0 \qquad\text{et}\qquad \vec n\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AC}=0.$$ Cela fournit un petit système. On choisit ensuite une solution non nulle et on utilise la formule précédente avec le point $A$.

Repère de programme

Chercher soi-même un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires figure parmi les approfondissements possibles du programme de 2019. Dans un sujet, ce vecteur est souvent proposé : il suffit alors de vérifier les deux produits scalaires nuls.

Exemple entièrement détaillé

Soient $A\left(0\,;\,0\,;\,0\right)$, $B\left(1\,;\,1\,;\,0\right)$ et $C\left(1\,;\,0\,;\,1\right)$. On calcule $$\overrightarrow{AB}=(1;1;0),\qquad \overrightarrow{AC}=(1;0;1).$$ Pour $\vec n=(a;b;c)$, les orthogonalités donnent $$\begin{aligned} a+b&=0,\\ a+c&=0. \end{aligned}$$ On peut choisir $a=1$. Alors $b=-1$ et $c=-1$, d’où $\vec n=(1;-1;-1)$. Comme le plan passe par l’origine, son équation est $$\boxed{x-y-z=0.}$$ Le choix d’un autre multiple non nul de $\vec n$ aurait donné une équation équivalente.

À retenir

Pour une équation $ax+by+cz+d=0$, lire immédiatement le vecteur normal $(a;b;c)$. Pour construire le plan, partir d’un point connu et écrire $\overrightarrow{AM}\mathbin{\cdot}\vec n=0$.

Fiche 04 / 07

3. Relier une droite, un plan et un système

Intersection d’une droite et d’un plan

On considère une droite donnée par $$\begin{cases} x=x_A+at,\\ y=y_A+bt,\\ z=z_A+ct, \end{cases}$$ et un plan $\mathcal P: px+qy+rz+s=0$. Pour chercher leur intersection, on remplace $x$, $y$, $z$ par les expressions en $t$ dans l’équation du plan. On obtient une seule équation à une inconnue.

Méthode

Après substitution :

• une unique valeur de $t$ donne un point d’intersection : la droite est sécante au plan ;

• aucune valeur de $t$ : la droite n’a aucun point commun avec le plan ; sa direction est alors parallèle au plan et l’on parle de droite strictement parallèle ;

• toutes les valeurs de $t$ conviennent lorsque la droite est contenue dans le plan.

Le coefficient de $t$ après substitution est $$p a+q b+r c=\vec u\mathbin{\cdot}(p;q;r),$$ où $\vec u=(a;b;c)$ est un vecteur directeur de la droite et $(p;q;r)$ un vecteur normal au plan. Cela explique le cas parallèle : un vecteur directeur parallèle au plan est orthogonal à un vecteur normal.

Exemple entièrement détaillé

On considère la droite $$d:\quad \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-t,\\ z=2+t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R},$$ et le plan $\mathcal P:x+y+z-5=0$.

On remplace les coordonnées de la droite dans l’équation du plan : $$\begin{aligned} (1+2t)+(-t)+(2+t)-5&=0\\ 2t-2&=0\\ t&=1. \end{aligned}$$ Il existe une seule valeur du paramètre. Le point d’intersection est obtenu en remplaçant $t=1$ dans les trois expressions : $$I\left(1+2\,;\,-1\,;\,2+1\right)=\left(3\,;\,-1\,;\,3\right).$$ Contrôle : $3+(-1)+3-5=0$. Donc $d\cap\mathcal P=\{I\}$.

Intersection de deux droites

Pour deux droites, on utilise deux paramètres différents : $$d:\ M=A+t\vec u, \qquad d':\ N=B+s\vec v.$$ Un point commun doit avoir les mêmes coordonnées dans les deux écritures. On résout donc le système obtenu en identifiant les trois coordonnées. Il faut éviter d’utiliser le même symbole pour les deux paramètres : $t$ et $s$ peuvent prendre des valeurs différentes.

Exemple entièrement détaillé

Soient $$d:\quad \begin{cases} x=t,\\ y=-1+2t,\\ z=3-t, \end{cases} \qquad d':\quad \begin{cases} x=3-s,\\ y=2+s,\\ z=-1+2s. \end{cases}$$ Pour un point commun, on obtient $$\begin{aligned} t&=3-s,\\ -1+2t&=2+s,\\ 3-t&=-1+2s. \end{aligned}$$ Les première et troisième équations donnent $$t+s=3,\qquad t+2s=4.$$ En soustrayant la première de la deuxième, on obtient $s=1$, puis $t=2$. La deuxième équation initiale est vérifiée : $-1+2\times2=3=2+1$.

Le point commun est donc $$I\left(2\,;\,3\,;\,1\right).$$ Les deux droites sont sécantes en $I$.

Traduire un problème géométrique

Avant de calculer, écrire ce que signifie la question :

• « $M$ appartient à la droite » signifie qu’il existe un paramètre $t$ qui vérifie les trois expressions ;

• « $M$ appartient au plan » signifie que ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne ;

• « $M$ est à l’intersection » signifie qu’il satisfait simultanément les deux conditions ;

• « une droite est parallèle à un plan » peut se tester avec le produit scalaire entre un vecteur directeur et un vecteur normal, puis avec un test d’appartenance pour distinguer une droite contenue du plan.

Attention. Un système sans solution signifie seulement « aucun point commun ». Pour conclure « droites parallèles » dans l’espace, il faut aussi examiner les directions et la position des droites ; deux droites peuvent être non coplanaires.

À retenir

Un système n’est pas une suite de nombres sans sens : chaque inconnue représente une position sur une droite. À la fin, traduire les valeurs trouvées en un point et en une phrase géométrique.

Fiche 05 / 07

4. Projections orthogonales

Projeté d’un point sur une droite

Soit $P$ un point et soit $d$ une droite passant par $A$ et dirigée par $\vec u\ne\vec0$. Le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $d$ est le point de $d$ tel que $PH$ soit perpendiculaire à la droite. On écrit donc $$H=A+t_0\vec u \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{PH}\mathbin{\cdot}\vec u=0.$$ Comme $\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{AP}-t_0\vec u$, et que l’orthogonalité ne change pas lorsqu’on inverse le sens d’un vecteur, on obtient $$\boxed{t_0=\frac{\overrightarrow{AP}\mathbin{\cdot}\vec u} {\vec u\mathbin{\cdot}\vec u}.}$$ Puis on calcule $H=A+t_0\vec u$. La distance du point à la droite est $PH$. Si $P$ appartient déjà à $d$, on obtient $H=P$ et la distance est nulle.

Exemple entièrement détaillé

On considère $$d:\ M=A+t\vec u, \qquad A\left(1\,;\,0\,;\,0\right),\quad \vec u=(2;1;0),$$ et $P\left(1\,;\,5\,;\,2\right)$. On commence par calculer $$\overrightarrow{AP}=(0;5;2).$$ Alors $$\begin{aligned} \overrightarrow{AP}\mathbin{\cdot}\vec u&=0\times2+5\times1+2\times0=5,\\ \vec u\mathbin{\cdot}\vec u&=2^2+1^2+0^2=5. \end{aligned}$$ Donc $t_0=5/5=1$, puis $$H=A+\vec u=(3;1;0).$$ Contrôlons la perpendicularité : $$\overrightarrow{PH}=(2;-4;-2), \qquad \overrightarrow{PH}\mathbin{\cdot}\vec u=2\times2-4\times1-2\times0=0.$$ Enfin, $$d(P,d)=PH=\sqrt{2^2+(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6.$$

Projeté d’un point sur un plan

Soit le plan $$\mathcal P: ax+by+cz+d=0, \qquad (a;b;c)\ne(0;0;0),$$ et le point $P\left(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P\right)$. Un vecteur normal est $\vec n=(a;b;c)$. Posons $$\delta=ax_P+by_P+cz_P+d.$$ Le projeté $H$ de $P$ sur le plan est obtenu en se déplaçant depuis $P$ dans la direction normale : $$\boxed{H=P-\frac{\delta}{a^2+b^2+c^2}(a;b;c).}$$ La distance au plan est $$\boxed{d(P,\mathcal P)= \frac{|\delta|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.}$$ Le nombre $\delta$ n’est pas encore une distance : il faut le diviser par la norme du vecteur normal. Si $\delta=0$, le point $P$ est déjà dans le plan : $H=P$ et la distance est nulle.

Exemple entièrement détaillé

On considère $\mathcal P:x+2y+2z-6=0$ et $P\left(2\,;\,1\,;\,2\right)$. On a $$\vec n=(1;2;2),\qquad \delta=2+2\times1+2\times2-6=2,$$ et $$a^2+b^2+c^2=1^2+2^2+2^2=9.$$ Ainsi, $$\begin{aligned} H&=P-\frac{2}{9}(1;2;2)\\ &=\left(2-2/9\,;\,1-4/9\,;\,2-4/9\right) =\left(16/9\,;\,5/9\,;\,14/9\right). \end{aligned}$$ Contrôle dans le plan : $$\frac{16}{9}+2\times\frac{5}{9}+2\times\frac{14}{9}-6 =\frac{54}{9}-6=0.$$ La distance vaut $$d(P,\mathcal P)=\frac{|2|}{\sqrt9}=\frac23.$$

Repère de programme

Le programme demande de déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan donné par une équation cartésienne, puis d’utiliser la projection pour calculer une distance. Les deux formules encadrées résument ce calcul. Sans les mémoriser, on peut raisonner ainsi : la droite passant par $P$ et dirigée par $\vec n$ s’écrit $P+k\vec n$, avec $k\in\mathbb{R}$ ; on cherche son intersection avec le plan. Dans l’exemple, $$(2+k)+2(1+2k)+2(2+2k)-6=0$$, soit $9k+2=0$, donc $k=-\frac29$ : on retrouve le même point $H$.

À retenir

Une projection se contrôle toujours avec deux informations : le point projeté appartient à la droite ou au plan, et le segment qui relie le point de départ au projeté est perpendiculaire à la direction ou au plan.

Fiche 06 / 07

5. Exercices gradués

Les exercices 1 et 2 entraînent la représentation d’une droite. Les exercices 3 et 4 travaillent les plans et les intersections. Les exercices 5 à 8 sont des entraînements plus autonomes. Les corrections détaillées, avec les calculs et les contrôles, sont dans le fascicule séparé.

Rappel différé

Ces trois questions sont à refaire quelques jours plus tard, sans relire tout le cours. Les réponses sont dans la page des corrections.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A\left(-2\,;\,1\,;\,0\right)$ et dirigée par $\vec u=(1;0;2)$. Le point $P\left(0\,;\,1\,;\,4\right)$ appartient-il à cette droite ?

2. Pour le plan $\mathcal P:-x+2y+z-3=0$, donner un vecteur normal et tester les points $M\left(1\,;\,2\,;\,0\right)$ et $N\left(1\,;\,1\,;\,0\right)$.

3. Déterminer l’intersection de $$d:\ x=2-t,\ y=1+t,\ z=t$$ avec le plan $x+y+z-4=0$.

Fiche 07 / 07

Bilan : la méthode en quatre questions

La fiche réflexe

Avant de commencer un exercice, se poser les questions suivantes :

1. Quel est l’objet ? Une droite, un plan, un point, une intersection ou une projection ?

2. Quelle donnée dirige l’objet ? Pour une droite, chercher un point et un vecteur directeur. Pour un plan, chercher un point et un vecteur normal.

3. Quelle traduction algébrique convient ? Paramètre pour une droite, équation cartésienne pour un plan, système pour un point commun, produit scalaire nul pour une perpendicularité.

4. Que signifie le résultat ? Donner les coordonnées, vérifier l’équation ou l’orthogonalité, puis écrire une phrase géométrique.

Erreurs fréquentes

• Utiliser trois paramètres différents dans les trois coordonnées d’une même droite : il faut un seul paramètre $t$.

• Écrire $\overrightarrow{AB}=(x_A-x_B;\ldots)$ : c’est arrivée moins départ, donc $B-A$.

• Oublier le signe moins devant une coordonnée négative, par exemple $0-(-2)=2$.

• Lire le vecteur normal d’un plan comme $(a;b;c;d)$ : la constante $d$ n’est pas une coordonnée du vecteur normal.

• Conclure trop vite qu’un point appartient à une droite après avoir vérifié une seule coordonnée : le même paramètre doit vérifier les trois.

• Appeler $\delta=ax_P+by_P+cz_P+d$ une distance : la distance est $\lvert\delta\rvert/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Auto-évaluation

Cocher ce qui est possible aujourd’hui :

• Je sais écrire $M=A+t\vec u$ et sa forme coordonnée.

• Je sais vérifier l’appartenance d’un point à une droite.

• Je sais construire $ax+by+cz+d=0$ avec un point et un normal.

• Je sais remplacer une droite dans l’équation d’un plan.

• Je sais utiliser un système et interpréter ses paramètres.

• Je sais contrôler une projection par appartenance et orthogonalité.

Si une case reste vide, reprendre uniquement la section correspondante et un exercice associé. Une démarche partielle correctement expliquée est déjà un point d’appui pour la suite.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, année 2026–2027 ; bac 2027 supposé, échéance exacte à confirmer. Le diagnostic permet de choisir les rappels utiles. Les exercices sont créés pour l’apprentissage ; ce ne sont pas des sujets officiels.

Programme de 2019 (Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019), section « Représentations paramétriques et équations cartésiennes », relu le 3 octobre 2026 dans l’annexe du programme conservée à la racine du dossier de cours. Capacités attendues : représentation paramétrique d’une droite, équation cartésienne d’un plan, projeté orthogonal d’un point sur un plan ou une droite, traduction de problèmes par des systèmes simples. La recherche d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires et l’intersection de deux plans y figurent comme approfondissements possibles.

Le programme publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028, selon le cours d’origine ; sa page n’a pas pu être ouverte lors de la vérification du 3 octobre 2026.

Toutes les formules de ce cours supposent un repère orthonormé. Les dessins de l’espace sont des projections : les angles et les longueurs représentés peuvent être déformés.