Corrections expliquées.
Suites numériques.

Correction D1

La multiplication est prioritaire : $$7-2\times3=7-6=1.$$

Correction D2

On met les deux fractions au dénominateur $8$ : $$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.$$

Correction D3

Comme l’exposant est impair, $$(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=4\times(-2)=-8.$$ De plus, $10^2=10\times10=100$. Une puissance impaire conserve le signe du nombre de départ ; une puissance paire d’un nombre non nul donne un résultat positif.

Correction D4

On soustrait $5$ aux deux membres puis on divise par $3$ : $$\begin{aligned} 3x+5=20 &\Longleftrightarrow 3x=15\\ &\Longleftrightarrow x=5. \end{aligned}$$

Correction D5

Une hausse de $15\,\%$ correspond au coefficient $1+15/100=1{,}15$. Le nouveau prix est $$80\times1{,}15=92\text{ euros}.$$

Correction D6

On remplace le rang dans $u_n=3n-2$ : $$u_0=3\times0-2=-2, \qquad u_4=3\times4-2=12-2=10.$$

Correction D7

La relation est $v_{n+1}=v_n-2$. On calcule dans l’ordre : $$\begin{aligned} v_1&=v_0-2=5-2=3,\\ v_2&=v_1-2=3-2=1,\\ v_3&=v_2-2=1-2=-1. \end{aligned}$$

Correction D8

Pour $4,7,10,13$, les différences sont $7-4=3$, $10-7=3$, $13-10=3$. Elles sont constantes : la liste correspond au début d’une suite arithmétique.

Pour $3,6,12,24$, les rapports sont $6/3=2$, $12/6=2$, $24/12=2$. Ils sont constants : la liste correspond au début d’une suite géométrique de raison $2$.

Correction 1 — Rang et modes de génération

b) Chercher le rang du terme $13$ revient à résoudre $u_n=13$ : $$\begin{aligned} 2n-3=13 &\Longleftrightarrow 2n=16\\ &\Longleftrightarrow n=8. \end{aligned}$$ Le rang $8$ est naturel, donc $u_8=13$.

c) On utilise successivement la relation de récurrence : $$\begin{aligned} v_1&=v_0+4=1+4=5,\\ v_2&=v_1+4=5+4=9,\\ v_3&=v_2+4=9+4=13. \end{aligned}$$

d) La suite $(u_n)$ est définie explicitement par une formule en fonction de $n$. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence : elle donne le premier terme et la règle de passage au suivant.

Correction 2 — Suite arithmétique : augmentation fixe

b) Pour une suite arithmétique commençant par $a_0$, $$a_n=a_0+nr=18+5n.$$ Ainsi, $$a_{12}=18+5\times12=18+60=78.$$

c) Du rang $0$ au rang $12$, il y a $12-0+1=13$ termes. La somme vaut donc $$\begin{aligned} S&=\frac{13(a_0+a_{12})}{2}\\ &=\frac{13(18+78)}{2}\\ &=\frac{13\times96}{2}=13\times48=624. \end{aligned}$$

d) Comme la raison $5$ est positive, la suite est strictement croissante. On peut aussi le justifier par $a_{n+1}-a_n=5>0$.

Correction 3 — Suite géométrique et pourcentage

b) Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme $600$ et de raison $0{,}88$ : $$\boxed{b_n=600\times0{,}88^n.}$$

c) À la calculatrice, $$\begin{aligned} b_5&=600\times0{,}88^5\approx316{,}64,\\ b_6&=600\times0{,}88^6\approx278{,}64. \end{aligned}$$ La quantité est exprimée en unités d’énergie.

d) On compare les termes autour de $300$ : $$b_5\approx316{,}64>300, \qquad b_6\approx278{,}64<300.$$ La suite est décroissante car $0<0{,}88<1$ et $b_0>0$. Le premier cycle où la quantité devient strictement inférieure à $300$ est donc le cycle $6$. La vérification de $b_5$ montre qu’elle n’était pas encore strictement inférieure au cycle précédent.

Correction 4 — Reconnaître une suite à partir de ses termes

Pour $(b_n)$, les différences ne sont pas constantes, mais les rapports sont $$\frac{6}{2}=3,\quad\frac{18}{6}=3,\quad\frac{54}{18}=3, \quad\frac{162}{54}=3.$$

Pour $(c_n)$, les différences valent $1,2,3,4$ : elles ne sont pas constantes. Les rapports valent notamment $2,2,7/4$ : ils ne sont pas constants non plus.

b) $(a_n)$ est arithmétique de raison $3$. $(b_n)$ est géométrique de raison $3$. La suite $(c_n)$ n’est ni arithmétique ni géométrique.

c) Pour $(a_n)$, le premier terme est $a_0=5$, donc $$\boxed{a_n=5+3n.}$$ Pour $(b_n)$, le premier terme est $b_0=2$, donc $$\boxed{b_n=2\times3^n.}$$

d) Une liste de quelques termes permet de conjecturer un modèle, mais la troisième liste ne vérifie ni le critère des différences constantes ni celui des rapports constants. Elle n’est donc ni arithmétique ni géométrique.

Correction 5 — Récurrence : rester dans un intervalle

b) Posons $P(n) : 2\leq u_n<6$.

Initialisation. $u_0=2$, donc $2\leq u_0<6$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité. Supposons que $2\leq u_k<6$. Comme $1/2>0$, $$1\leq\frac12u_k<3.$$ En ajoutant $3$, $$4\leq\frac12u_k+3<6.$$ Or $u_{k+1}=\dfrac12u_k+3$. Donc $$2\leq u_{k+1}<6.$$ La propriété est héréditaire.

Conclusion. Par récurrence, $2\leq u_n<6$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

c) $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac12u_n+3-u_n\\ &=3-\frac12u_n. \end{aligned}$$ Comme $u_n<6$, on a $\dfrac12u_n<3$, donc $3-\dfrac12u_n>0$. La suite est strictement croissante.

d) La suite est croissante et majorée par $6$. Elle converge donc vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans la relation affine, $$\ell=\frac12\ell+3.$$ Ainsi, $$\frac12\ell=3\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\ell=6}.$$ La suite se rapproche de $6$ par valeurs inférieures.

Correction 6 — Suite récurrente et point fixe

b) Posons $P(n):0\leq v_n\leq4$.

Au rang $0$, $v_0=0$, donc $0\leq v_0\leq4$.

Supposons $0\leq v_k\leq4$. En ajoutant $4$, puis en divisant par le nombre positif $2$, on obtient $$2\leq\frac{v_k+4}{2}\leq4.$$ Comme $v_{k+1}=\dfrac{v_k+4}{2}$, on a en particulier $0\leq v_{k+1}\leq4$. La propriété est héréditaire.

Par récurrence, $0\leq v_n\leq4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

c) $$\begin{aligned} v_{n+1}-v_n &=\frac{v_n+4}{2}-v_n\\ &=\frac{4-v_n}{2}. \end{aligned}$$ La borne $v_n\leq4$ donne $4-v_n\geq0$, donc la différence est positive ou nulle. La suite est croissante. Elle est strictement croissante tant que $v_n<4$. Ici, aucun terme n’est égal à $4$ : si $v_n<4$, alors $v_{n+1}=(v_n+4)/2<4$, et c’est vrai au départ.

d) La suite est croissante et majorée par $4$, donc elle converge. Si $\ell$ désigne sa limite, $$\ell=\frac{\ell+4}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2\ell=\ell+4 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ell=4}.$$

Correction 7 — Limites directes

f) On fait apparaître $n-2$ au dénominateur : $$4n+1=4(n-2)+9.$$ Donc $$z_n=4+\frac{9}{n-2}.$$ Pour les grands rangs, $9/(n-2)\to0$, d’où $$\boxed{z_n\longrightarrow4}.$$

Correction 8 — Théorème des gendarmes

On sait que $-1\leq(-1)^n\leq1$. Comme $n+2>0$, on peut diviser sans changer le sens des inégalités : $$-\frac{1}{n+2}\leq\frac{(-1)^n}{n+2} \leq\frac{1}{n+2}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$, car leur dénominateur tend vers $+\infty$. Le terme central est donc coincé entre deux suites de même limite. Par le théorème des gendarmes, $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.}$$

Correction 9 — Un seuil de population

b) Un algorithme possible est :

P = 50
n = 0
while P < 100:
    P = 1.06 * P
    n = n + 1
print(n, P)

La boucle continue tant que le seuil n’est pas atteint. À chaque passage, le terme est multiplié par $1{,}06$ et le rang augmente de $1$.

c) Les valeurs autour du seuil sont $$P_{11}=50\times1{,}06^{11}\approx94{,}91<100, \qquad P_{12}=50\times1{,}06^{12}\approx100{,}61\geq100.$$ Le premier rang qui vérifie la condition est donc $n=12$.

d) La population atteint au moins $100$ milliers de bactéries après $12$ mois. Le contrôle de $P_{11}$ garantit qu’elle n’avait pas encore atteint ce seuil au mois précédent.

Correction 10 — Synthèse : un réservoir qui se vide

b) Posons $P(n):V_n\geq800/3$.

Au rang $0$, $V_0=800\geq800/3$.

Supposons $V_k\geq800/3$. Comme $0{,}85>0$, $$0{,}85V_k\geq0{,}85\times\frac{800}{3} =\frac{680}{3}.$$ En ajoutant $40=120/3$, $$V_{k+1}=0{,}85V_k+40 \geq\frac{680}{3}+\frac{120}{3} =\frac{800}{3}.$$ La propriété est héréditaire. Par récurrence, $$V_n\geq\frac{800}{3}\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.$$

c) Calculons la différence : $$\begin{aligned} V_{n+1}-V_n &=0{,}85V_n+40-V_n\\ &=40-0{,}15V_n. \end{aligned}$$ La question b) donne $V_n\geq800/3$. Or $$0{,}15\times\frac{800}{3}=\frac{15}{100}\times\frac{800}{3}=40.$$ Donc $0{,}15V_n\geq40$, puis $$V_{n+1}-V_n\leq0.$$ La suite est décroissante.

d) Elle est décroissante et minorée par $800/3$. Le théorème des suites monotones et bornées assure donc sa convergence.

e) Notons $\ell$ sa limite. La relation de récurrence est affine, donc on peut passer à la limite : $$\begin{aligned} \ell&=0{,}85\ell+40\\ 0{,}15\ell&=40\\ \ell&=\frac{40}{0{,}15}=\frac{800}{3}\approx266{,}67. \end{aligned}$$ À long terme, le volume se rapproche donc d’environ $266{,}67$ litres. Le réservoir ne se vide pas complètement dans ce modèle : la perte quotidienne diminue avec le volume, tandis que l’ajout de $40$ litres reste constant.

Correction R1

La relation $u_{n+1}=u_n-2$ décrit une suite arithmétique de raison $r=-2$. Le terme général est $$u_n=u_0+nr=7-2n.$$ Ainsi, $$u_5=7-2\times5=7-10=-3.$$

Correction R2

Les rapports sont constants : $$\frac{12}{3}=4,\qquad\frac{48}{12}=4,\qquad\frac{192}{48}=4.$$ La suite est géométrique de raison $4$. La somme de ses quatre premiers termes vaut $$3+12+48+192=255.$$ Avec la formule, $$3\times\frac{1-4^4}{1-4}=3\times\frac{1-256}{-3}=255.$$

Correction R3

Comme $-1<0{,}6<1$, $$0{,}6^n\longrightarrow0, \qquad 5\times0{,}6^n\longrightarrow0.$$ La suite $(-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$. Elle ne se rapproche pas d’une valeur unique : elle n’a pas de limite.

Correction R4

Vérifier trois cas montre seulement que la propriété est vraie pour trois rangs. Une preuve par récurrence doit, en plus, montrer que si la propriété est vraie à un rang quelconque $k$, alors elle reste vraie au rang suivant $k+1$, puis conclure pour tous les rangs.