Suites numériques.
Des évolutions par étapes.

Fiche 01 / 10

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Calculer en respectant les priorités opératoires : $7-2\times3$.

2. Calculer et simplifier : $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}$.

3. Calculer $(-2)^3$ et $10^2$. Que devient le signe quand on élève un nombre négatif à une puissance impaire ?

4. Résoudre l’équation $3x+5=20$.

5. Un prix de $80$ euros augmente de $15\,\%$. Quel est le coefficient multiplicateur et quel est le nouveau prix ?

6. On définit $u_n=3n-2$, pour $n\in\mathbb{N}$. Calculer $u_0$ et $u_4$.

7. On définit $v_0=5$ et $v_{n+1}=v_n-2$. Calculer $v_1,v_2,v_3$.

8. Pour chaque liste, les différences entre termes consécutifs sont-elles constantes ? Les rapports le sont-ils ? $$4,\ 7,\ 10,\ 13 \qquad\text{et}\qquad 3,\ 6,\ 12,\ 24.$$

Corrections du diagnostic →

Les prérequis indispensables

Priorités opératoires. On effectue d’abord les parenthèses, puis les puissances, les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. À priorité égale, on lit de gauche à droite : $$7-2\times3=7-6=1.$$

Fractions. Pour additionner ou soustraire, on utilise un même dénominateur : $$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.$$

Pourcentage. Une hausse de $t\,\%$ correspond au coefficient $1+\dfrac{t}{100}$. Une baisse de $t\,\%$ correspond au coefficient $1-\dfrac{t}{100}$. Ainsi, une hausse de $15\,\%$ multiplie par $1{,}15$ : $$80\times1{,}15=92.$$

Nombres naturels et rangs. Dans ce cours, on prend $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$. Le nombre $n$ est le rang et $u_n$ est le terme de rang $n$. Certains énoncés commencent à $n=1$ ; il faut alors respecter l’indexation donnée.

À retenirAvant de calculer un terme, repérer son rang et la façon dont la suite est définie. Une formule comme $u_n=3n-2$ se calcule directement ; une relation comme $u_{n+1}=u_n-2$ demande de connaître le terme précédent.

Fiche 02 / 10

1. Comprendre une suite

L’idée essentielle : une évolution par étapes

Une suite sert à décrire une quantité observée à des instants séparés : le nombre de personnes inscrites chaque mois, le capital à la fin de chaque année, ou le nombre de cases d’une figure quand on ajoute une étape. Les instants sont numérotés par des nombres naturels. On étudie donc une évolution discrète, faite de valeurs isolées, et non toutes les valeurs intermédiaires.

Par exemple, si une cagnotte contient $20$ euros au départ et reçoit $5$ euros chaque semaine, on peut noter $u_n$ la somme après $n$ semaines : $$u_0=20,\qquad u_1=25,\qquad u_2=30,\qquad u_3=35.$$ La suite donne une valeur pour chaque rang.

Deux façons principales de définir une suite

Définition explicite. Une formule donne directement le terme de rang $n$ : $$u_n=f(n).$$ Pour calculer $u_6$, on remplace immédiatement $n$ par $6$.

Définition par récurrence. On donne un premier terme et une règle qui permet de passer d’un terme au suivant : $$u_0=\text{valeur initiale},\qquad u_{n+1}=g(u_n).$$ Pour calculer $u_4$, on calcule successivement $u_1$, puis $u_2$, puis $u_3$, puis $u_4$. La relation de récurrence ne donne pas directement le terme demandé sans les termes précédents.

Exemple entièrement détaillé

On considère la suite définie explicitement par $$u_n=3n-2.$$ Pour le terme de rang $0$, on remplace $n$ par $0$ : $$u_0=3\times0-2=-2.$$ Pour le terme de rang $3$, on remplace $n$ par $3$ : $$u_3=3\times3-2=9-2=7.$$

Cherchons le rang du terme égal à $16$. On traduit la question par $u_n=16$, puis on remplace $u_n$ par sa formule : $$\begin{aligned} u_n=16 &\Longleftrightarrow 3n-2=16\\ &\Longleftrightarrow 3n=18\\ &\Longleftrightarrow n=6. \end{aligned}$$ Comme $6\in\mathbb{N}$, le terme $u_6$ est bien défini et vaut $16$.

Exemple entièrement détaillé

On considère maintenant $$v_0=2,\qquad v_{n+1}=v_n+3.$$ On applique la règle une fois par ligne : $$\begin{aligned} v_1&=v_0+3=2+3=5,\\ v_2&=v_1+3=5+3=8,\\ v_3&=v_2+3=8+3=11. \end{aligned}$$ La relation permet de calculer les termes, mais il faut avancer rang après rang. Plus loin, nous verrons que cette suite possède aussi une formule explicite, $v_n=2+3n$.

Méthode

Pour calculer un terme :

1. écrire le rang demandé ;

2. vérifier si l’on dispose d’une formule explicite ou d’une relation de récurrence ;

3. remplacer le rang dans la formule, ou calculer les termes intermédiaires dans l’ordre ;

4. contrôler le résultat avec le sens de l’évolution : une hausse ne doit pas produire une valeur plus petite sans raison.

À retenirUne suite est une liste ordonnée $u_0,u_1,u_2,\ldots$. La notation $u_n$ désigne un terme ; la notation $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ désigne la suite entière. Une formule explicite donne directement un terme, tandis qu’une récurrence permet de construire le terme suivant à partir du précédent.

Fiche 03 / 10

2. Suites arithmétiques : un ajout constant

Reconnaître une évolution arithmétique

Une quantité évolue de façon arithmétique lorsqu’elle reçoit toujours le même ajout, appelé la raison et noté $r$. La définition est $$\boxed{u_{n+1}=u_n+r.}$$ La différence entre deux termes consécutifs est donc constante : $$u_{n+1}-u_n=r.$$ Un salaire qui augmente de $40$ euros chaque mois, ou une figure à laquelle on ajoute toujours $6$ carreaux, sont des exemples de croissance arithmétique.

Terme général

Si la suite commence par $u_0$, alors $$\boxed{u_n=u_0+nr.}$$ Plus généralement, si l’on connaît le terme $u_p$, alors $$\boxed{u_n=u_p+(n-p)r} \qquad\text{pour }n\geq p.$$ On ajoute la raison autant de fois qu’il y a de passages du rang $p$ au rang $n$.

Exemple entièrement détaillé

On considère une suite arithmétique telle que $u_0=12$ et $r=5$. Les premiers termes permettent de comprendre la formule : $$u_1=12+5\qquad u_2=12+5+5\qquad u_3=12+5+5+5.$$ Au rang $n$, on a ajouté $5$ exactement $n$ fois : $$u_n=12+5n.$$ Par exemple, $$u_7=12+5\times7=12+35=47.$$ La formule est contrôlée par la relation de récurrence : $$u_{n+1}=12+5(n+1)=12+5n+5=u_n+5.$$

Sens de variation

La raison suffit à déterminer le sens de variation : $$\begin{array}{c|c} \text{Condition sur }r&\text{Évolution de }(u_n)\\ \hline r>0&\text{strictement croissante}\\ r=0&\text{constante}\\ r<0&\text{strictement décroissante} \end{array}$$ En effet, $u_{n+1}-u_n=r$. Le signe de cette différence dit si l’on monte, si l’on reste au même niveau ou si l’on descend.

Somme des termes

Pour une suite arithmétique, la somme des termes de $u_p$ à $u_n$ est $$\boxed{u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n =\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}.}$$ Il y a $n-p+1$ termes. On multiplie leur nombre par la moyenne du premier et du dernier.

Exemple entièrement détaillé

Une association reçoit $120$ euros le premier mois, puis $15$ euros de plus chaque mois. On note $u_n$ la recette du mois de rang $n$, avec le premier mois au rang $0$. Ainsi, $u_0=120$ et $r=15$.

La recette du sixième mois, de rang $5$, vaut $$u_5=120+5\times15=120+75=195\text{ euros}.$$ La recette totale des six premiers mois est $$\begin{aligned} S&=u_0+u_1+\cdots+u_5\\ &=\frac{(5-0+1)(u_0+u_5)}{2}\\ &=\frac{6(120+195)}{2}\\ &=3\times315=945\text{ euros}. \end{aligned}$$ On vérifie l’unité : on a additionné des recettes en euros, donc le résultat est en euros.

Démonstration de la formule de somme

Posons $$S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n.$$ En écrivant la même somme dans l’autre ordre, $$S=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_p.$$ En additionnant membre à membre, chaque colonne vaut $u_p+u_n$ : $$2S=(n-p+1)(u_p+u_n).$$ En divisant par $2$, on obtient la formule annoncée. Le cas particulier $1+2+\cdots+n$ correspond à $p=1$, $u_p=1$, $u_n=n$ : $$\boxed{1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.}$$

À retenirSuite arithmétique signifie « même ajout à chaque étape » : $u_{n+1}=u_n+r$, puis $u_n=u_0+nr$. Pour une somme, compter les termes avant d’appliquer $\dfrac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier}+ \text{dernier})}{2}$.

Fiche 04 / 10

3. Suites géométriques : un facteur constant

Reconnaître une évolution géométrique

Une quantité évolue de façon géométrique lorsqu’elle est multipliée toujours par le même nombre, appelé la raison et noté $q$. La définition est $$\boxed{u_{n+1}=q\,u_n.}$$ Lorsque les termes à comparer sont non nuls, cela revient à dire $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.$$ La relation de récurrence reste la définition la plus sûre, notamment lorsqu’un terme vaut zéro.

Une hausse de $t\,\%$ est une multiplication par $1+\dfrac{t}{100}$ ; une baisse de $t\,\%$ est une multiplication par $1-\dfrac{t}{100}$. Une évolution à pourcentage constant est donc modélisée par une suite géométrique.

Terme général

Si la suite commence par $u_0$, alors $$\boxed{u_n=u_0q^n.}$$ Plus généralement, $$\boxed{u_n=u_pq^{n-p}} \qquad\text{pour }n\geq p.$$ L’exposant compte le nombre de multiplications effectuées.

Exemple entièrement détaillé

Un capital de $800$ euros augmente de $4\,\%$ chaque année. On note $C_n$ le capital après $n$ années.

Le coefficient multiplicateur est $$q=1+\frac{4}{100}=1{,}04.$$ La situation se traduit par $$C_0=800,\qquad C_{n+1}=1{,}04C_n.$$ Il s’agit d’une suite géométrique, donc $$\boxed{C_n=800\times1{,}04^n.}$$ Après trois ans, $$\begin{aligned} C_3&=800\times1{,}04^3\\ &=800\times1{,}124864\\ &=899{,}8912\text{ euros}. \end{aligned}$$ En pratique, on peut annoncer environ $899{,}89$ euros si l’on arrondit au centime. Il ne faut pas remplacer une hausse de $4\,\%$ par un ajout fixe de $4$ euros : le pourcentage s’applique au capital présent à chaque étape.

Sens de variation dans le cas usuel

Lorsque $u_0>0$ et $q>0$, on obtient : $$\begin{array}{c|c} \text{Condition sur }q&\text{Évolution de }(u_n)\\ \hline q>1&\text{strictement croissante}\\ q=1&\text{constante}\\ 0<q<1&\text{strictement décroissante} \end{array}$$ Pour une raison négative, les termes changent généralement de signe à chaque étape : il faut alors étudier les termes un par un et ne pas appliquer ce tableau. Par exemple, $(-2)^n$ alterne entre des valeurs positives et négatives.

Somme des termes

Pour $q\neq1$, $$\boxed{1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.}$$ Ainsi, pour une suite géométrique de premier terme $u_0$, $$\boxed{u_0+u_1+\cdots+u_n =u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.}$$ Si $q=1$, tous les termes valent $u_0$, donc la somme vaut $(n+1)u_0$.

Exemple entièrement détaillé

Calculons $$S=3+6+12+24+48.$$ Le premier terme est $3$, la raison est $2$, et le dernier rang est $4$. Il y a donc cinq termes : $$\begin{aligned} S&=3\times\frac{1-2^5}{1-2}\\ &=3\times\frac{1-32}{-1}\\ &=3\times31=93. \end{aligned}$$ Le calcul direct $3+6+12+24+48=93$ confirme le résultat.

Démonstration de la formule de somme

Posons $$S=1+q+q^2+\cdots+q^n.$$ En multipliant par $q$, $$qS=q+q^2+\cdots+q^n+q^{n+1}.$$ En soustrayant, les termes intermédiaires s’annulent : $$\begin{aligned} S-qS&=1-q^{n+1},\\ (1-q)S&=1-q^{n+1}. \end{aligned}$$ Comme $q\neq1$, on peut diviser par $1-q$, ce qui donne la formule.

À retenirSuite géométrique signifie « même facteur à chaque étape » : $u_{n+1}=qu_n$, puis $u_n=u_0q^n$. Pour un pourcentage constant, le coefficient est $1+t/100$ en cas de hausse et $1-t/100$ en cas de baisse. La formule de somme exige de distinguer le cas $q=1$.

Fiche 05 / 10

4. Variations et représentations

Comparer deux termes consécutifs

Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on compare $u_{n+1}$ et $u_n$. Le calcul le plus général consiste à étudier $$u_{n+1}-u_n.$$

• Si $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout $n$, la suite est croissante.

• Si $u_{n+1}-u_n\leq0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

• Si le signe change, on ne peut pas conclure à une variation monotone avec cette comparaison.

Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le rapport $u_{n+1}/u_n$ à $1$ : un rapport supérieur à $1$ signifie une hausse, un rapport entre $0$ et $1$ une baisse. Cette méthode dépend de la positivité ; avec des signes négatifs, elle peut être trompeuse.

Exemple entièrement détaillé

On considère $$w_n=\frac{6}{n+2},\qquad n\in\mathbb{N}.$$ Pour comparer deux termes consécutifs, on calcule leur différence : $$\begin{aligned} w_{n+1}-w_n &=\frac{6}{n+3}-\frac{6}{n+2}\\ &=\frac{6(n+2)-6(n+3)}{(n+3)(n+2)}\\ &=\frac{-6}{(n+3)(n+2)}. \end{aligned}$$ Pour tout $n\in\mathbb{N}$, le dénominateur est positif et le numérateur est négatif. La différence est donc négative : la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

Lire un tableau et un graphique

Un tableau de valeurs associe chaque rang à son terme : $$\begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ \hline u_n&2&5&8&11&14 \end{array}$$ Les différences valent toutes $3$ : les valeurs suggèrent une suite arithmétique de raison $3$. Une liste de termes permet de faire une conjecture, mais une justification générale est nécessaire pour affirmer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.

La représentation graphique d’une suite est le nuage de points $(n,u_n)$. Il faut lire les deux axes, leurs graduations et leurs unités. Une suite arithmétique donne des points alignés sur une droite, mais l’inverse doit être interprété avec précaution : seuls les rangs naturels sont concernés.

Suite arithmétique ou géométrique ?

Pour choisir le modèle, traduire la phrase de l’énoncé :

Attention au vocabulaire. Ajouter $5$ à chaque étape et augmenter de $5\,\%$ à chaque étape ne décrivent pas la même évolution. Dans le premier cas, l’écart est constant ; dans le second, le facteur est constant.

À retenirPour une variation, comparer $u_{n+1}-u_n$. Pour reconnaître un modèle, chercher d’abord « même ajout » ou « même facteur ». Un tableau ou un graphique aide à conjecturer, mais une preuve porte sur tous les rangs.

Fiche 06 / 10

5. Démontrer par récurrence

Pourquoi une preuve par récurrence ?

Une affirmation peut être vraie pour les premiers rangs sans être vraie pour tous les rangs. Le raisonnement par récurrence permet de vérifier une propriété à chaque étape, comme une rangée de dominos :

Pour prouver une propriété $P(n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, on écrit trois parties :

1. Initialisation : vérifier $P(0)$ (ou le premier rang de l’énoncé).

2. Hérédité : supposer $P(k)$ vraie pour un rang $k$, puis démontrer $P(k+1)$.

3. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

L’hypothèse « $P(k)$ est vraie » n’est utilisée que pendant l’étape d’hérédité. Il faut la citer explicitement.

Exemple entièrement détaillé

On définit $$u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+1.$$ Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$1\leq u_n<2.$$

Initialisation. Pour $n=0$, on sait que $u_0=1$. Donc $$1\leq u_0<2.$$ La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité. Supposons qu’à un rang $k$, on ait $1\leq u_k<2$. Comme on multiplie une inégalité par le nombre positif $1/2$, $$\frac12\leq\frac12u_k<1.$$ En ajoutant $1$ aux trois membres, $$\frac32\leq\frac12u_k+1<2.$$ Or $u_{k+1}=\dfrac12u_k+1$, donc $$1\leq u_{k+1}<2.$$ La propriété est héréditaire.

Conclusion. Par le principe de récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1\leq u_n<2$.

Cette propriété permet ensuite d’étudier les variations : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac12u_n+1-u_n\\ &=1-\frac12u_n. \end{aligned}$$ Comme $u_n<2$, on a $1-\dfrac12u_n>0$. La suite est donc strictement croissante. Elle est croissante et majorée par $2$, donc elle converge. Si sa limite est $\ell$, la relation de récurrence donne $$\ell=\frac12\ell+1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac12\ell=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \ell=2.$$ La suite converge donc vers $2$.

Méthode

Pour une suite récurrente, une preuve de majoration ou de minoration suit souvent ce plan : partir de l’encadrement supposé pour $u_k$, appliquer la formule de récurrence, puis vérifier que le même encadrement est obtenu pour $u_{k+1}$. Ne pas remplacer l’hérédité par la seule vérification de quelques termes.

À retenirUne récurrence complète comporte : initialisation, hérédité, conclusion. Pour étudier une suite définie par récurrence, on cherche souvent un intervalle dans lequel elle reste, puis on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.

Fiche 07 / 10

6. Limites de suites

Comprendre l’idée de limite

La limite décrit le comportement des termes quand le rang devient très grand. Dire que $u_n$ tend vers $\ell$ signifie que les termes finissent par être arbitrairement proches de $\ell$. Ils n’ont pas besoin d’être égaux à $\ell$, ni même de l’atteindre.

Par exemple, $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ donne $$u_0=0,\quad u_1=0{,}5,\quad u_2\approx0{,}667,\quad u_{10}\approx0{,}909.$$ Les valeurs se rapprochent de $1$ : on écrit $$\lim_{n\to+\infty}u_n=1.$$

On distingue trois comportements fréquents :

• convergence vers un réel $\ell$ ;

• divergence vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ ;

• absence de limite, par exemple lorsque les termes oscillent sans se rapprocher d’une même valeur.

Limites usuelles

Quelques résultats à connaître : $$\lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}=0.$$ Pour une puissance géométrique, le comportement dépend de $q$ : $$\begin{array}{c|c} \text{Condition sur }q&\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n\\ \hline q>1&+\infty\\ q=1&1\\ -1<q<1&0\\ q=-1&\text{pas de limite}\\ q<-1&\text{pas de limite} \end{array}$$ Dans le dernier cas, les valeurs absolues deviennent très grandes mais les signes alternent. Ce n’est ni une limite vers $+\infty$, ni une limite vers $-\infty$.

Par multiplication par une constante, on en déduit par exemple : $$\lim 5\times0{,}8^n=0, \qquad \lim(-3)\times1{,}2^n=-\infty.$$

Opérations sur les limites

Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to m$, alors, dans les cas où l’opération a un sens, $$u_n+v_n\to\ell+m\qquad u_n-v_n\to\ell-m\qquad u_nv_n\to\ell m.$$ Si $m\neq0$, alors $$\frac{u_n}{v_n}\longrightarrow\frac{\ell}{m}.$$ Les expressions comme $+\infty-\infty$ ou $0\times(+\infty)$ ne donnent pas une conclusion immédiate : il faut transformer l’expression ou utiliser une comparaison.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la limite de $$u_n=\frac{4n-1}{2n+3}.$$ On fait apparaître le terme dominant : $$4n-1=2(2n+3)-7.$$ Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$u_n=\frac{2(2n+3)-7}{2n+3}=2-\frac{7}{2n+3}.$$ Comme $2n+3\to+\infty$, on a $\dfrac{7}{2n+3}\to0$. Par conséquent, $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2.}$$ Le résultat est cohérent : pour de grandes valeurs de $n$, le quotient des termes dominants $4n$ et $2n$ vaut $2$.

Théorème des gendarmes

Si, à partir d’un certain rang, $$a_n\leq u_n\leq b_n$$ et si $a_n$ et $b_n$ tendent vers le même réel $\ell$, alors $$\boxed{u_n\longrightarrow\ell.}$$ La suite $u_n$ est « coincée » entre deux suites qui se rapprochent de la même valeur.

Exemple entièrement détaillé

On considère $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}.$$ Comme $(-1)^n$ vaut toujours $-1$ ou $1$, $$-1\leq(-1)^n\leq1.$$ En divisant par $n+1>0$, $$-\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq\frac{1}{n+1}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$. Le théorème des gendarmes donne donc $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=0.}$$ Les signes alternent, mais l’amplitude $1/(n+1)$ devient de plus en plus petite : l’oscillation ne suffit pas à empêcher la convergence.

Suite monotone et bornée

Un théorème important permet de conclure sans connaître immédiatement la limite : $$\boxed{\text{Toute suite croissante et majorée converge.}}$$ De même, toute suite décroissante et minorée converge. Une majoration est un nombre qui reste au-dessus de tous les termes ; une minoration reste en dessous. Dans l’exemple de la section précédente, $(u_n)$ est croissante et tous ses termes sont inférieurs à $2$, donc elle converge.

Attention. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ si elle n’est pas majorée, comme $u_n=n$. Une suite bornée n’est pas forcément convergente : $(-1)^n$ est bornée mais n’a pas de limite.

Chercher la limite d’une suite récurrente

Pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, on peut suivre ce plan :

1. prouver que la suite reste dans un intervalle adapté ;

2. prouver qu’elle est croissante ou décroissante ;

3. utiliser le théorème des suites monotones et bornées ;

4. appeler $\ell$ la limite et remplacer $u_n$ et $u_{n+1}$ par $\ell$ dans la relation, lorsque cette opération est justifiée.

L’équation obtenue donne une valeur candidate. Les étapes précédentes restent indispensables : résoudre seulement $\ell=f(\ell)$ ne prouve pas que la suite converge.

À retenirPour une limite, identifier d’abord la forme de la suite. Utiliser les limites usuelles, les opérations, un encadrement ou le théorème des gendarmes. Pour une suite récurrente, établir d’abord variation et bornes ; l’équation sur la limite vient ensuite. Une suite bornée n’est pas automatiquement convergente.

Fiche 08 / 10

7. Modéliser et rechercher un seuil

Passer d’un énoncé à une suite

Pour modéliser une évolution, on nomme précisément la quantité et son unité. On peut suivre quatre étapes :

1. définir $u_n$ : que représente-t-il et à quel rang correspond $n=0$ ?

2. traduire l’évolution d’une étape à la suivante ;

3. choisir une relation explicite ou une relation de récurrence ;

4. contrôler le premier passage avec les données de l’énoncé.

Exemple entièrement détaillé

Un compte contient $1000$ euros. Il augmente de $2\,\%$ par mois. On note $C_n$ le solde après $n$ mois. Le coefficient multiplicateur est $1{,}02$, donc $$C_0=1000,\qquad C_{n+1}=1{,}02C_n\qquad C_n=1000\times1{,}02^n.$$ Cherchons le premier mois où le solde atteint au moins $1200$ euros. La question se traduit par $$C_n\geq1200.$$ Un algorithme peut calculer les termes jusqu’à ce seuil :

capital = 1000
n = 0
while capital < 1200:
    capital = 1.02 * capital
    n = n + 1
print(n, capital)

La boucle s’arrête au premier rang où la condition $capital<1200$ devient fausse. Avec une calculatrice, $$C_9\approx1195{,}09<1200, \qquad C_{10}\approx1218{,}99\geq1200.$$ Le premier rang recherché est donc $n=10$ : le seuil est atteint après dix mois. Le contrôle de $C_9$ est important pour justifier le mot « premier ».

Un algorithme de calcul de termes

Pour une relation de récurrence, on peut conserver uniquement le dernier terme calculé :

u = u0
for k in range(1, n+1):
    u = formule_de_passage(u)
print(u)

Il faut adapter la syntaxe à la calculatrice ou au langage utilisé. L’idée mathématique reste la même : initialiser au bon terme, répéter exactement le nombre de passages nécessaire, puis lire la valeur obtenue.

Erreur fréquente. Dans une boucle de seuil, si l’on augmente une quantité avant de tester la condition, le rang compté correspond au terme suivant. Il faut préciser ce que contient la variable avant la boucle et vérifier le terme juste avant l’arrêt.

À retenirUne modélisation réussie relie toujours une lettre, un rang, une unité et une règle d’évolution. Pour un seuil, l’algorithme doit fournir le premier rang satisfaisant la condition et permettre de contrôler le rang précédent.

Fiche 09 / 10

Exercices gradués

Les exercices sont classés du plus guidé au plus autonome. Pour chacun, indique la donnée utile, la méthode choisie et une phrase de conclusion. Les corrections détaillées se trouvent dans le fascicule séparé, avec la même numérotation.

Fiche 10 / 10

Bilan et rappel différé

Les erreurs fréquentes à surveiller

• Confondre le terme $u_n$ et la suite entière $(u_n)$.

• Commencer à $u_1$ alors que l’énoncé donne $u_0$, ou compter un mauvais nombre de termes dans une somme.

• Transformer une hausse de $t\,\%$ en ajout de $t$, au lieu d’utiliser le facteur multiplicateur.

• Utiliser une formule géométrique pour une suite arithmétique, ou l’inverse.

• Conclure à partir de quatre ou cinq termes sans démonstration générale.

• Résoudre l’équation $\ell=f(\ell)$ sans avoir prouvé que la suite converge.

• Dire qu’une suite bornée converge : l’exemple $(-1)^n$ montre que c’est faux.

• Donner un rang de seuil sans vérifier que le terme précédent ne satisfait pas encore la condition.

Auto-évaluation

Cocher une case après le travail :

Si un exercice bloque, revenir à cette courte procédure :

1. entourer la quantité étudiée, son unité et son rang initial ;

2. écrire les trois premières valeurs ou la première relation de passage ;

3. dire avec des mots si l’évolution ajoute ou multiplie ;

4. choisir une seule méthode et écrire la première étape ;

5. consulter l’indice, puis reprendre la rédaction avec ses propres phrases.

Rappel différé – à refaire quelques jours plus tard

Ces questions sont volontairement courtes. Essaie de les résoudre sans rouvrir le cours ; les réponses expliquées sont dans le fascicule des corrections.

1. On donne $u_0=7$ et $u_{n+1}=u_n-2$. Calculer $u_5$, puis donner la formule de $u_n$.

2. La suite $3,12,48,192,\ldots$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison et la somme de ses quatre premiers termes.

3. Sans calculer beaucoup de termes, déterminer la limite de $5\times0{,}6^n$, puis expliquer pourquoi $(-1)^n$ n’a pas de limite.

4. En une phrase, expliquer pourquoi la vérification de $P(0)$, $P(1)$ et $P(2)$ ne constitue pas une preuve par récurrence.

À retenirUne suite décrit une évolution par rangs. Même ajout : arithmétique. Même facteur : géométrique. Pour une récurrence : initialiser, transmettre, conclure. Pour une limite : reconnaître la forme, justifier l’outil, puis interpréter le résultat.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Cinq séances de 35 à 45 minutes avec une pause courte sont proposées. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019. Il comprend notamment le raisonnement par récurrence, les limites de suites, les comparaisons et le comportement des suites géométriques.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici pour éviter une confusion entre les deux textes, sans être utilisé dans ce cours.

Dans ce cours, les rangs commencent à n = 0 sauf indication contraire. Les suites sont discrètes : la représentation graphique est un nuage de points et non une courbe continue.