Corrections expliquées.
Limites des fonctions.

Correction D1

La multiplication est prioritaire : $$7-2\times3=7-6=1.$$

Correction D2

Il faut un dénominateur commun. On transforme les quarts en huitièmes : $$\frac34-\frac18=\frac68-\frac18=\frac58.$$ Pour additionner ou soustraire des fractions, on les écrit avec un même dénominateur. On additionne ou soustrait ensuite les numérateurs.

Correction D3

La racine impose $x+2\geq0$, donc $x\geq-2$. Le dénominateur impose $x-1\neq0$, donc $x\neq1$. Ainsi, $$\boxed{\mathcal{D}_g=[-2,+\infty[\,\setminus\{1\}.}$$

Correction D4

On remplace $x$ par $2$ : $$f(2)=2^2-3\times2+1=4-6+1=-1.$$

Correction D5

Correction D6

La différence de deux carrés donne $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$ Pour $x\neq1$, le facteur $x-1$ est non nul et peut être simplifié : $$\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$ La formule simplifiée décrit les valeurs voisines, mais la formule initiale reste non définie en $x=1$.

Correction D7

Si $x<2$, alors $x-2<0$, donc $$\frac1{x-2}<0.$$ Si $x>2$, alors $x-2>0$, donc $$\frac1{x-2}>0.$$ Plus précisément, les valeurs deviennent très grandes en valeur absolue quand $x$ se rapproche de $2$ : $$\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty.$$

Correction D8

Correction 1 — Vocabulaire et lecture de limites

b) Si $x\to0^-$, alors $x$ est négatif et proche de zéro : $$\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty.$$ Si $x\to0^+$, alors $x$ est positif et proche de zéro : $$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.$$ Les limites latérales étant différentes, il n’existe pas de limite bilatérale finie ou infinie de $1/x$ en $0$.

c) Non. La limite observe les valeurs pour $x$ proche de $3$, alors que $f(3)$ concerne le point lui-même. La fonction peut être non définie en $3$, ou bien avoir une valeur différente. Par exemple, $$r(x)=\begin{cases}x+2&\text{si }x\neq3,\\10&\text{si }x=3\end{cases}$$ vérifie $\lim_{x\to3}r(x)=5$, mais $r(3)=10$.

Correction 2 — Domaine et calcul direct

b) Le point $0$ appartient au domaine et le dénominateur ne s’annule pas en $0$. La substitution directe convient : $$\lim_{x\to0}g(x) =\frac{\sqrt{2\times0+1}}{0-3} =\frac1{-3} =-\frac13.$$

c) Lorsque $x\to3^+$, $x-3\to0^+$. Le numérateur tend vers $\sqrt7>0$, donc $$\lim_{x\to3^+}g(x)=+\infty.$$ Lorsque $x\to3^-$, $x-3\to0^-$, tandis que le numérateur reste positif : $$\lim_{x\to3^-}g(x)=-\infty.$$ La droite $x=3$ est une asymptote verticale.

Correction 3 — Deux formes indéterminées en un point

b) La substitution donne encore $0/0$. Pour $x\neq0$, on multiplie par le conjugué : $$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)}\\ &=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\ &=\frac1{\sqrt{1+x}+1}. \end{aligned}$$ La limite est alors directe : $$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac1{\sqrt1+1}=\frac12.}$$

Correction 4 — Terme dominant d’un polynôme

Le terme de plus haut degré est $2x^4$. Comme $x^4\to+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ et lorsque $x\to-\infty$, on a $$2x^4\to+\infty$$ dans les deux directions. Les termes $-3x^2+7x-1$ croissent moins vite en valeur absolue et ne changent pas la conclusion : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}p(x)=+\infty.}$$ La parité est essentielle : une puissance paire est positive aux deux infinis, tandis qu’une puissance impaire change de signe.

Correction 5 — Quotients de polynômes

b) Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur : $$\frac{4x+1}{x^2+1} =\frac{\frac4x+\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}}.$$ À $-\infty$, $1/x$ et $1/x^2$ tendent vers zéro. Donc $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2+1}=0.}$$

c) En divisant par $x^2$, $$\frac{2x^3-x}{x^2+1} =\frac{2x-\frac1x}{1+\frac1{x^2}}.$$ À $+\infty$, le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur vers $1>0$. Ainsi, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+1}=+\infty.}$$ Le quotient se comporte comme $2x$.

Correction 6 — Encadrement et exponentielle

b) La croissance comparée affirme que l’exponentielle domine toute puissance entière positive : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{e^x}=0.}$$

c) Lorsque $x\to+\infty$, $-2x\to-\infty$. La limite usuelle de l’exponentielle donne $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0.}$$

Correction 7 — Asymptotes de la fonction inverse déplacée

b) Aux deux infinis, $1/(x-4)\to0$, donc $$\lim_{x\to+\infty}h(x)=2,\qquad \lim_{x\to-\infty}h(x)=2.$$ Près de $4$, si $x\to4^-$, alors $x-4\to0^-$ et $1/(x-4)\to-\infty$. Si $x\to4^+$, alors $x-4\to0^+$ et $1/(x-4)\to+\infty$. Ainsi, $$\lim_{x\to4^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to4^+}h(x)=+\infty.$$

c) Les limites précédentes donnent : $$\boxed{y=2\text{ est une asymptote horizontale},\qquad x=4\text{ est une asymptote verticale}.}$$

d) Lorsque $x$ devient très grand et positif, le terme $1/(x-4)$ devient proche de zéro. Donc $h(x)$ se rapproche de $2$.

Correction 8 — Modèle d’une température

b) Lorsque $t\to+\infty$, on a $-0{,}3t\to-\infty$, donc $e^{-0{,}3t}\to0$. Par conséquent, $$\lim_{t\to+\infty}T(t) =18+72\times0 =\boxed{18}.$$

c) À long terme, la température se rapproche de $18\,^{\circ}\mathrm{C}$. L’asymptote horizontale est donc $$\boxed{y=18.}$$ La limite n’affirme pas nécessairement que la température atteint exactement $18\,^{\circ}\mathrm{C}$ à un temps fini.

Correction 9 — Trou amovible et rédaction

b) Le numérateur se factorise : $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2).$$ Pour $x\neq-1$, $$k(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2.$$

c) La formule simplifiée donne une limite directe : $$\boxed{\lim_{x\to-1}k(x)=\lim_{x\to-1}(x+2)=1.}$$

d) La fonction initiale n’est pas définie en $-1$. Sa courbe est la droite $y=x+2$ privée du point de coordonnées $(-1,1)$. Il s’agit d’un trou amovible : les valeurs voisines se rapprochent de $1$, mais le point n’appartient pas à la courbe.

Correction 10 — Problème de synthèse

b) À $+\infty$ comme à $-\infty$, $$\frac{2x-1}{x^2+1}\longrightarrow0$$ car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, et $$\frac3{x-4}\longrightarrow0.$$ Par les opérations sur les limites, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}F(x)=5,\qquad \lim_{x\to-\infty}F(x)=5.}$$

c) Au voisinage de $4$, le premier quotient possède une limite finie : $$\lim_{x\to4}\frac{2x-1}{x^2+1} =\frac{8-1}{16+1}=\frac7{17}.$$ Le terme $3/(x-4)$ commande la divergence. À gauche, $x-4\to0^-$, donc $$\boxed{\lim_{x\to4^-}F(x)=-\infty.}$$ À droite, $x-4\to0^+$, donc $$\boxed{\lim_{x\to4^+}F(x)=+\infty.}$$

d) Les limites à l’infini donnent l’asymptote horizontale $$\boxed{y=5}.$$ Les limites infinies en $4$ donnent l’asymptote verticale $$\boxed{x=4}.$$

e) Une rédaction possible est la suivante : « Aux deux infinis, les deux termes variables tendent vers zéro ; $F(x)$ se rapproche donc de $5$ et la droite $y=5$ est une asymptote horizontale. En revanche, près de $x=4$, le terme $3/(x-4)$ diverge : $F(x)$ tend vers $-\infty$ à gauche et vers $+\infty$ à droite. La droite $x=4$ est une asymptote verticale. » Cette conclusion distingue bien les deux directions.

Correction R1

b) En divisant par $x^2$, $$\frac{x^3}{x^2+1} =\frac{x}{1+\frac1{x^2}}.$$ À $-\infty$, le facteur $x$ tend vers $-\infty$ et le dénominateur vers $1>0$. Donc $$\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2+1}=-\infty.$$

c) Lorsque $x\to0^+$, $x$ est positif et proche de zéro : $$\lim_{x\to0^+}\frac5x=+\infty.$$

Correction R2

Correction R3

Le degré du numérateur est $2$, celui du dénominateur est $3$. Le dénominateur croît donc plus vite en valeur absolue. En divisant par $x^3$, $$\frac{x^2+1}{x^3+2} =\frac{\frac1x+\frac1{x^3}}{1+\frac2{x^3}} \longrightarrow\frac{0+0}{1+0}=0.$$ L’erreur consiste à remplacer le quotient par un rapport qui ne tient pas compte des degrés, ou à lire « $1$ » sans effectuer la comparaison. La réponse correcte est $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{x^3+2}=0.}$$

Correction R4

Lorsque $x\to+\infty$, $-x\to-\infty$, donc $e^{-x}\to0$. Ainsi, $$\lim_{x\to+\infty}q(x) =\lim_{x\to+\infty}\left(6-2e^{-x}\right) =6-2\times0 =\boxed6.$$ À long terme, la quantité modélisée par $q(x)$ se rapproche de $6$. La droite $y=6$ est l’asymptote horizontale correspondante.