Corrections expliquées.
Compléments sur la dérivation.

Correction D1

Correction D2

Dans $f(x)=(3x-1)^4$, la fonction intérieure est $$u(x)=3x-1,$$ et la fonction extérieure est $v(t)=t^4$. On a donc $f=v\circ u$.

Correction D3

Correction D4

Correction D5

Une courbe située sous les cordes qui relient deux de ses points est une courbe convexe. Pour une courbe concave, la courbe est au-dessus de ces cordes.

Correction D6

Correction D7

Non. L’égalité $f''(1)=0$ donne seulement un candidat. Il faut vérifier que le signe de $f''$ change de part et d’autre de $1$. Sans changement de convexité, il n’y a pas de point d’inflexion.

Correction D8

Pour $f(x)=x^2$, $$f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.$$ La tangente en $1$ est $$\begin{aligned} y&=f(1)+f'(1)(x-1)\\ &=1+2(x-1)\\ &=\boxed{2x-1}. \end{aligned}$$

Correction 1 — Ordre d’une composition

b) Pour $x=1$, $$(v\circ u)(1)=3(1+2)^2=3\times9=27,$$ tandis que $$(u\circ v)(1)=3\times1^2+2=5.$$

c) Dans $v\circ u$, la sortie de $u$ devient l’entrée de $v$. Dans $u\circ v$, c’est l’inverse. Les expressions $3(x+2)^2$ et $3x^2+2$ ne sont pas les mêmes : l’ordre compte.

Correction 2 — Règle de la chaîne

b) Pour $g(x)=e^{2x-5}$, $$\boxed{g'(x)=2e^{2x-5}}.$$ Le domaine est $\mathbb{R}$.

c) La racine impose $5-x\geq0$, donc la fonction est définie sur $]-\infty,5]$. Elle est dérivable lorsque $5-x>0$, c’est-à-dire sur $]-\infty,5[$. La règle de la chaîne donne $$\boxed{h'(x)=-\frac1{2\sqrt{5-x}}}.$$ La fonction n’est pas dérivable en $x=5$.

Correction 3 — Domaine et composée

b) On écrit $f(x)=(2x-3)^{-1/2}$. La règle de la chaîne donne $$\begin{aligned} f'(x) &=-\frac12(2x-3)^{-3/2}\times2\\ &=\boxed{-\frac1{(2x-3)^{3/2}}}. \end{aligned}$$

c) Sur le domaine, $(2x-3)^{3/2}>0$. Donc $f'(x)<0$. Le résultat confirme que $f$ est décroissante, ce qui est cohérent avec une quantité positive $1/\sqrt{2x-3}$ qui diminue quand $x$ augmente.

Correction 4 — Dérivée seconde

Correction ?

5 – Convexité à partir de $f''$ On calcule $$f'(x)=3x^2-6x-9, \qquad f''(x)=6x-6=6(x-1).$$ Le signe de $f''$ est négatif si $x<1$, nul en $1$, positif si $x>1$. La fonction est donc concave sur $]-\infty,1[$, puis convexe sur $]1,+\infty[$. Le signe change en $1$, donc il y a un point d’inflexion. Son ordonnée vaut $$f(1)=1-3-9+1=-10.$$ Le point d’inflexion est $$\boxed{I(1;-10)}.$$

Correction 6 — Inégalité par une tangente

Pour $f(x)=e^x$, $$f''(x)=e^x>0.$$ La fonction est convexe sur $\mathbb{R}$. En $0$, $$f(0)=1,\qquad f'(0)=1.$$ La tangente est donc $$T_0(x)=1+x.$$ La courbe d’une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes : $$\boxed{e^x\geq1+x}.$$ L’égalité a lieu au point de tangence, c’est-à-dire pour $x=0$.

Correction 7 — Un point d’inflexion ou non ?

Fonction $g(x)=x^4$. On a $g''(x)=12x^2$, positif des deux côtés de $0$. La courbe reste convexe : $$\boxed{(0;0)\text{ n'est pas un point d'inflexion}.}$$

Fonction $h(x)=-x^3$. On a $h''(x)=-6x$, positif à gauche de $0$, négatif à droite. La courbure change : $$\boxed{(0;0)\text{ est un point d'inflexion}.}$$

Correction 8 — Lire un tableau de signes

b) D’après le signe de $f''$, la fonction est convexe sur $]-\infty,1[$ et concave sur $]1,+\infty[$.

c) En $x=-2$, $f'$ passe de négatif à positif : la courbe possède un minimum local et une tangente horizontale. Il n’y a pas de changement de convexité indiqué à cet endroit.

En $x=1$, $f''$ passe de positif à négatif : la courbe possède un point d’inflexion, de coordonnées $(1;f(1))$. Comme $f'(1)>0$, la tangente à ce point n’est pas horizontale.

Correction 9 — Étude complète d’une fonction

On étudie $f(x)=(x-1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

Limites. On utilise la croissance comparée de l’exponentielle : $$\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{-x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x-1)e^{-x}=0.$$ La courbe admet donc l’asymptote horizontale $y=0$ lorsque $x\to+\infty$.

Variations. La dérivée est $$\begin{aligned} f'(x) &=e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})\\ &=e^{-x}(2-x). \end{aligned}$$ Comme $e^{-x}>0$, $f'$ est positive si $x<2$, nulle en $2$, négative si $x>2$. La fonction croît puis décroît. Elle atteint un maximum en $2$, de valeur $$f(2)=e^{-2}.$$

Convexité. On dérive $f'$ : $$\begin{aligned} f''(x) &=-e^{-x}(2-x)-e^{-x}\\ &=e^{-x}(x-3). \end{aligned}$$ Le signe change en $3$ : $f$ est concave sur $]-\infty,3[$, convexe sur $]3,+\infty[$. Le point d’inflexion est $$\boxed{I\bigl(3;f(3)\bigr)=I\bigl(3;2e^{-3}\bigr)}.$$

Correction 10 — Inégalité avec la fonction inverse

Sur $]0,+\infty[$, $$f(x)=\frac1x,\qquad f''(x)=\frac2{x^3}>0.$$ La fonction est convexe. En $x=1$, $$f(1)=1,\qquad f'(1)=-1.$$ L’équation de la tangente est $$T_1(x)=1-(x-1)=2-x.$$ La courbe est au-dessus de cette tangente, donc $$\boxed{\frac1x\geq2-x\quad\text{pour }x>0.}$$ En ajoutant $x$ aux deux membres, ce qui conserve le sens de l’inégalité car $x>0$, on obtient $$\boxed{x+\frac1x\geq2}.$$ L’égalité a lieu pour $x=1$.

Correction R1

La fonction est une composée : $u(x)=x^2+1$, puis $v(t)=t^3$. Donc $$f'(x)=3(x^2+1)^2\times2x$$ et $$\boxed{f'(x)=6x(x^2+1)^2}.$$

Correction R2

Correction R3

La fonction exponentielle vérifie $f''(x)=e^x>0$, donc elle est convexe. La courbe est au-dessus de sa tangente en $0$. Or cette tangente est $y=1+x$. On en déduit $$e^x\geq1+x.$$

Correction R4

Il faut calculer $f''$, résoudre l’équation $f''(x)=0$, puis vérifier que le signe de $f''$ change de part et d’autre de la valeur trouvée. Il faut ensuite donner les deux coordonnées du point $(x;f(x))$.