Compléments sur la dérivation.
Composer, courber, interpréter.

Fiche 01 / 08

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les notions à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2$. Calculer $(v\circ u)(2)$, puis $(u\circ v)(2)$.

2. Pour $f(x)=(3x-1)^4$, repérer la fonction extérieure et la fonction intérieure, sans encore calculer $f'(x)$.

3. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour $f(x)=x^3-2x^2$.

4. Donner le signe de $6x-12$ selon la position de $x$ par rapport à $2$.

5. Une courbe située sous toutes les cordes qui relient deux de ses points est-elle plutôt convexe ou concave ?

6. Pour $f(x)=x^3$, calculer $f''(x)$ et déterminer les intervalles où la courbe est convexe ou concave.

7. Une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(1)=0$. Peut-on conclure immédiatement que $x=1$ est un point d’inflexion ?

8. Écrire l’équation de la tangente à $y=x^2$ en $x=1$.

Corrections du diagnostic →

Les prérequis indispensables

Composition. Si $u$ transforme $x$ en $u(x)$, puis $v$ transforme $u(x)$ en $v(u(x))$, la fonction obtenue est la composée $v\circ u$. L’ordre est important : $$(v\circ u)(x)=v(u(x)).$$

Dérivée et signe. Pour étudier une courbure, on calculera d’abord $f''$, c’est-à-dire la dérivée de $f'$, puis son signe. Comme toujours, factoriser les expressions facilite l’étude du signe.

Intervalles. Une propriété comme $f''(x)\geq0$ doit être annoncée sur un intervalle. Une fonction peut être convexe sur une partie de son domaine et concave sur une autre.

Tangente. La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$ Dans ce chapitre, cette droite servira aussi de comparaison avec la courbe.

À retenirLa dérivée $f'$ décrit la pente et les variations de $f$. La dérivée seconde $f''$ décrit l’évolution de cette pente et permet d’étudier la convexité. Un point où $f''=0$ doit encore être examiné de part et d’autre.

Fiche 02 / 08

1. Composer des fonctions et dériver

L’idée essentielle : deux transformations successives

Une composition correspond à deux étapes. Par exemple, pour calculer $$(v\circ u)(x),$$ on commence par $u(x)$, puis on applique $v$ au résultat. Les parenthèses montrent ce qui entre dans la deuxième fonction.

Exemple entièrement détaillé

Soient $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2$.

Composition $v\circ u$. On applique $u$, puis $v$ : $$(v\circ u)(x)=v(u(x))=v(2x+1)=(2x+1)^2.$$ En particulier, $$(v\circ u)(2)=(2\times2+1)^2=5^2=25.$$

Composition $u\circ v$. On applique $v$, puis $u$ : $$(u\circ v)(x)=u(v(x))=u(x^2)=2x^2+1.$$ Ainsi $$(u\circ v)(2)=2\times2^2+1=9.$$ Les deux compositions ne sont donc pas les mêmes : $v\circ u\neq u\circ v$ dans cet exemple.

La règle de la chaîne

Si $u$ est dérivable et $v$ est dérivable aux valeurs $u(x)$, la composée $v\circ u$ est dérivable et $$\boxed{(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x).}$$ On peut la lire ainsi : on dérive la fonction extérieure en gardant la fonction intérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Méthode

Pour dériver $f(x)=v(u(x))$ :

1. identifier $u(x)$, la fonction intérieure ;

2. identifier $v$, la fonction extérieure ;

3. calculer $u'(x)$ et $v'(u(x))$ ;

4. multiplier les deux résultats et vérifier le domaine.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la dérivée de $$f(x)=(3x-2)^5.$$ La fonction intérieure est $u(x)=3x-2$, avec $u'(x)=3$. La fonction extérieure est $v(t)=t^5$, avec $v'(t)=5t^4$. En remplaçant $t$ par $u(x)$, on obtient $$v'(u(x))=5(3x-2)^4.$$ La règle de la chaîne donne donc $$\boxed{f'(x)=5(3x-2)^4\times3=15(3x-2)^4.}$$

Exemple entièrement détaillé

Sur son domaine $x>-\frac12$, calculons la dérivée de $$g(x)=\sqrt{2x+1}.$$ La fonction intérieure est $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. La fonction extérieure est $v(t)=\sqrt{t}$, dont la dérivée vaut $v'(t)=1/(2\sqrt{t})$ pour $t>0$. Ainsi $$\begin{aligned} g'(x) &=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\times2\\ &=\boxed{\frac1{\sqrt{2x+1}}}. \end{aligned}$$

Compositions usuelles

Pour $u$ dérivable, les règles suivantes sont à reconnaître : $$\begin{aligned} \bigl(u(x)^n\bigr)'&=n\,u(x)^{n-1}u'(x),\\ \bigl(e^{u(x)}\bigr)'&=u'(x)e^{u(x)},\\ \bigl(\sqrt{u(x)}\bigr)'&=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\quad\text{lorsque }u(x)>0,\\ \left(\frac1{u(x)}\right)'&=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}\quad\text{lorsque }u(x)\neq0. \end{aligned}$$ Ces formules ne dispensent pas de vérifier le domaine de la fonction.

Exemple entièrement détaillé

Pour $h(x)=e^{x^2-1}$, la fonction intérieure est $u(x)=x^2-1$, donc $u'(x)=2x$. On obtient $$\boxed{h'(x)=2x\,e^{x^2-1}}.$$ Pour $k(x)=1/(x^2+1)$, on obtient de même $$\boxed{k'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}}.$$

À retenirDans une composée, la dérivée de la fonction intérieure ne doit pas être oubliée. Pour $(3x-2)^5$, il ne suffit pas d’écrire $5(3x-2)^4$ : il faut encore multiplier par $3$.

Fiche 03 / 08

2. Comprendre la dérivée seconde

Une nouvelle question : la pente augmente-t-elle ?

La dérivée $f'$ donne la pente de la courbe. On peut à son tour étudier les variations de $f'$. Lorsque $f'$ est dérivable, on appelle $$\boxed{f''=(f')'}$$ la dérivée seconde de $f$. Le nombre $f''(a)$ mesure l’évolution de la pente au voisinage de $a$.

Exemple entièrement détaillé

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$. Calculons les deux premières dérivées : $$\begin{aligned} f'(x)&=3x^2-6x=3x(x-2),\\ f''(x)&=6x-6=6(x-1). \end{aligned}$$ La dérivée seconde s’annule en $x=1$. Elle est négative si $x<1$ et positive si $x>1$. La pente de $f$ diminue avant $1$, puis augmente après $1$. Ce changement sera traduit par un changement de courbure.

Lire $f''$ sans tout recalculer

Si $f''(x)>0$ sur un intervalle, alors $f'$ y est croissante : les pentes augmentent. Si $f''(x)<0$, alors $f'$ y est décroissante : les pentes diminuent. Cette information ne remplace pas le signe de $f'$ pour étudier les variations de $f$, mais elle apporte une information supplémentaire sur la forme de la courbe.

À retenirLa dérivée seconde est la dérivée de la dérivée. Le signe de $f''$ indique si $f'$ augmente ou diminue. Il ne donne pas directement le sens de variation de $f$ : pour cela, on regarde le signe de $f'$.

Fiche 04 / 08

3. Convexité et concavité

Voir la courbure avec des sécantes

Une fonction est convexe sur un intervalle si, entre deux points de sa courbe, la courbe reste en dessous de la corde qui relie ces deux points. Elle est concave si la courbe reste au-dessus de cette corde.

Avec $x_1<x_2$ et $0\leq\lambda\leq1$, la définition algébrique de la convexité s’écrit $$f\bigl(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\bigr) \leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2).$$ Le membre de droite est l’ordonnée du point de la sécante correspondant à l’abscisse du membre de gauche. Pour une fonction concave, l’inégalité est renversée.

Le critère de la dérivée seconde

Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, on admet les équivalences suivantes :

Lorsque le signe est strict, on peut parler de convexité ou de concavité stricte sur l’intervalle considéré.

Exemple entièrement détaillé

Pour $f(x)=x^2$, $$f''(x)=2>0.$$ La fonction carré est donc convexe sur $\mathbb{R}$. Pour $g(x)=-x^2$, $g''(x)=-2<0$, donc $g$ est concave sur $\mathbb{R}$.

Pour $h(x)=x^3$, on a $h''(x)=6x$. La fonction est concave sur $]-\infty,0[$ et convexe sur $]0,+\infty[$. La courbure change en $0$.

La courbe par rapport à ses tangentes

Si $f''\geq0$ sur un intervalle, la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. Si $f''\leq0$, elle est en dessous de ses tangentes.

Démonstration demandée au programme. Fixons une abscisse $a$ et notons $$T_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$ l’équation de la tangente. Posons $g(x)=f(x)-T_a(x)$. Alors $$g(a)=0,\qquad g'(a)=0,\qquad g''(x)=f''(x)\geq0.$$ La fonction $g'$ est donc croissante. Si $x>a$, alors $g'(t)\geq0$ entre $a$ et $x$, donc $g$ augmente à partir de $g(a)=0$ et $g(x)\geq0$. Si $x<a$, alors $g'(t)\leq0$ entre $x$ et $a$ ; en avançant de $x$ vers $a$, $g$ diminue, donc $g(x)\geq g(a)=0$. Dans tous les cas $f(x)-T_a(x)\geq0$, ce qui signifie que la courbe est au-dessus de la tangente.

À retenirPour une fonction deux fois dérivable, $f''\geq0$ signifie « courbe convexe », « $f'$ croissante » et « courbe au-dessus de ses tangentes ». Ces trois formulations décrivent le même phénomène.

Fiche 05 / 08

4. Inégalités et points d’inflexion

Utiliser une tangente pour démontrer une inégalité

La propriété précédente fournit une méthode : choisir une fonction convexe, écrire la tangente en un point pratique, puis utiliser la position de la courbe.

Exemple entièrement détaillé

Montrons que, pour tout réel $x$, $$e^x\geq1+x.$$ La fonction $f(x)=e^x$ vérifie $$f''(x)=e^x>0,$$ donc elle est convexe sur $\mathbb{R}$. Au point $a=0$, $$f(0)=1,\qquad f'(0)=1.$$ La tangente est $$T_0(x)=1+1(x-0)=1+x.$$ Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, donc $$\boxed{e^x\geq1+x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}.}$$ L’égalité est obtenue en $x=0$.

Exemple entièrement détaillé

Sur $]0,+\infty[$, la fonction $f(x)=1/x$ vérifie $$f''(x)=\frac2{x^3}>0.$$ Elle est convexe. Sa tangente au point $a=1$ est $$T_1(x)=1-(x-1)=2-x.$$ La courbe étant au-dessus de sa tangente, $$\boxed{\frac1x\geq2-x\quad\text{pour tout }x>0.}$$

Point d’inflexion

Un point de la courbe est un point d’inflexion lorsque la courbe change de convexité à cet endroit : elle passe de concave à convexe, ou de convexe à concave.

Pour une fonction deux fois dérivable, un changement de signe de $f''$ en $a$ permet de conclure que le point $(a;f(a))$ est un point d’inflexion. La seule égalité $f''(a)=0$ ne suffit pas.

Exemple entièrement détaillé

Pour $f(x)=x^3$, on a $f''(x)=6x$. Le signe passe de négatif à positif en $0$. La courbe est concave avant $0$, convexe après $0$, et $$\boxed{(0;0)\text{ est un point d'inflexion}.}$$

En revanche, pour $g(x)=x^4$, $g''(x)=12x^2$ est positif de part et d’autre de $0$. La courbe reste convexe ; le point $(0;0)$ n’est donc pas un point d’inflexion, même si $g''(0)=0$.

À retenirPour chercher un point d’inflexion : calculer $f''$, résoudre $f''(x)=0$, puis vérifier que le signe de $f''$ change. Le point est ensuite $(a;f(a))$, pas seulement l’abscisse $a$.

Fiche 06 / 08

5. Lire des tableaux et étudier une fonction

Changer de registre

Le programme demande de passer d’une expression à un tableau ou à un dessin. Quelques réflexes :

• si $f'$ est positive, la courbe monte ; si $f'$ est négative, elle descend ;

• si $f''$ est positive, la courbe est convexe ; si $f''$ est négative, elle est concave ;

• un zéro de $f'$ donne une tangente horizontale, mais pas forcément un extremum ;

• un changement de signe de $f''$ donne un point d’inflexion ;

• les limites indiquent le comportement aux bornes du domaine et complètent l’esquisse de la courbe.

Exemple entièrement détaillé : une fonction avec une inflexion

Étudions sur $\mathbb{R}$ la fonction $$f(x)=(x-1)e^{-x}.$$

Étape 1 – limites. Les résultats sur les limites donnent $$\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{-x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x-1)e^{-x}=0.$$ La droite $y=0$ est donc une asymptote horizontale à droite.

Étape 2 – dérivée et variations. Avec le produit, $$\begin{aligned} f'(x) &=1\times e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})\\ &=e^{-x}\bigl(1-x+1\bigr)\\ &=e^{-x}(2-x). \end{aligned}$$ Comme $e^{-x}>0$, le signe de $f'$ est celui de $2-x$. La fonction croît sur $]-\infty,2[$, atteint un maximum en $2$, puis décroît sur $]2,+\infty[$. La valeur du maximum est $$f(2)=e^{-2}.$$

Étape 3 – dérivée seconde et convexité. On dérive $f'(x)=e^{-x}(2-x)$ : $$\begin{aligned} f''(x) &=-e^{-x}(2-x)+e^{-x}(-1)\\ &=e^{-x}(x-3). \end{aligned}$$ Le facteur $e^{-x}$ est positif. Ainsi $f''<0$ si $x<3$, et $f''>0$ si $x>3$. La courbe est concave sur $]-\infty,3[$, convexe sur $]3,+\infty[$, et possède un point d’inflexion en $$\boxed{I\bigl(3;2e^{-3}\bigr)}.$$

Bilan. Les trois informations se complètent :

À retenirPour une étude complète, ne pas mélanger les rôles : $f'$ donne les variations, $f''$ donne la convexité, et les limites donnent le comportement aux bornes. Une conclusion précise indique toujours l’intervalle.

Fiche 07 / 08

Exercices gradués

Les exercices vont de l’identification de la règle à l’étude complète. Les corrections détaillées sont dans corrections.pdf.

Fiche 08 / 08

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Bilan à relire avant un exercice

1. Une composée s’écrit $(v\circ u)(x)=v(u(x))$ : on applique $u$ en premier.

2. La règle de la chaîne est $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$.

3. La dérivée seconde est $f''=(f')'$.

4. Si $f''\geq0$, alors $f$ est convexe et $f'$ est croissante.

5. Un changement de signe de $f''$ donne un point d’inflexion ; le seul fait $f''(a)=0$ ne suffit pas.

6. Pour une inégalité, une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes.

Erreurs fréquentes à analyser

• Inverser $u\circ v$ et $v\circ u$.

• Oublier le facteur $u'(x)$ dans la règle de la chaîne.

• Confondre le signe de $f'$, qui donne les variations, avec celui de $f''$, qui donne la convexité.

• Conclure à un point d’inflexion dès que $f''(a)=0$, sans chercher un changement de signe.

• Dire qu’une fonction convexe est toujours croissante : convexité et sens de variation sont deux informations différentes.

• Donner l’abscisse d’un point d’inflexion sans calculer son ordonnée.

Auto-évaluation

Rappel différé

À refaire quelques jours plus tard, sans relire le cours auparavant :

1. Calculer la dérivée de $f(x)=\bigl(x^2+1\bigr)^3$.

2. Pour $g(x)=x^4$, donner $g''(x)$ et la convexité de $g$.

3. Expliquer avec une phrase pourquoi $e^x\geq1+x$.

4. Quelle vérification faut-il faire avant d’annoncer un point d’inflexion ?

À retenirEn cas de blocage, séparer les questions : quelle est la fonction intérieure ? Quel est le signe de $f'$ ? Quel est le signe de $f''$ ? La réponse devient souvent plus simple quand on ne cherche pas à tout conclure en une seule étape.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.