Dérivation.
Mesurer une variation.

Fiche 01 / 07

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Calculer $f(2)$ pour $f(x)=x^2-3x+1$.

2. Calculer le taux de variation de $f(x)=x^2$ entre $x=1$ et $x=3$.

3. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par $A(1;4)$ et $B(3;10)$.

4. Développer et réduire $(a+h)^2-a^2$.

5. Donner le signe de $2x-6$ selon la position de $x$ par rapport à $3$.

6. Écrire l’équation de la droite de coefficient directeur $2$ passant par $A(1;5)$.

7. Pour $g(x)=x^3$, calculer $g(1)$, $g(1{,}1)$, puis le taux de variation entre $1$ et $1{,}1$.

8. Une distance est exprimée en mètres et un temps en secondes. Quelle unité peut avoir une vitesse instantanée ?

Corrections du diagnostic →

Les prérequis indispensables

Calcul littéral. Pour calculer un taux de variation, il faut savoir remplacer $x$ par une expression comme $a+h$, développer et factoriser : $$\begin{aligned} (a+h)^2-a^2 & =a^2+2ah+h^2-a^2\\ & =2ah+h^2 =h(2a+h). \end{aligned}$$

Coefficient directeur. Une droite qui passe par deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, avec $x_A\neq x_B$, a pour coefficient directeur $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$ Le nombre $m$ mesure la variation de $y$ lorsque $x$ augmente d’une unité.

Fonction et image. $f(a)$ est le nombre obtenu en remplaçant $x$ par $a$ dans la formule de $f$. Il faut distinguer $f(a)$, qui est une valeur, de $f'(a)$, qui mesure la variation instantanée au voisinage de $a$.

Fractions et signes. Pour un quotient, le dénominateur doit être non nul. Pour étudier le signe d’un produit ou d’un quotient, on repère le signe de chaque facteur avant de conclure.

À retenirUne étude de dérivation repose sur trois gestes : calculer correctement les images, manipuler les expressions sans perdre les signes, puis interpréter le résultat avec une unité ou une phrase.

Fiche 02 / 07

1. Du taux de variation à la tangente

L’idée essentielle : mesurer une variation

Si une voiture parcourt $120$ kilomètres en $2$ heures, sa vitesse moyenne est $$\frac{120}{2}=60\ \text{km/h}.$$ On a comparé une variation de distance à une variation de temps. En mathématiques, le même geste permet de mesurer la variation moyenne d’une fonction.

Pour une fonction $f$, entre deux abscisses $a$ et $b$, avec $a\neq b$, le taux de variation est $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Le numérateur est la variation de la sortie et le dénominateur la variation de l’entrée. Géométriquement, c’est le coefficient directeur de la sécante qui relie les points $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ de la courbe.

Se rapprocher d’un point

Pour observer la variation de $f$ au voisinage de $a$, on choisit un petit écart $h\neq0$. Le second point a alors pour abscisse $a+h$. Le taux de variation entre $a$ et $a+h$ devient $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $a+h$ se rapproche de $a$. Les sécantes se rapprochent de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$. La valeur vers laquelle se rapprochent les taux de variation est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, lorsque cette valeur existe : $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Dans ce cours, cette écriture sert à donner du sens au nombre dérivé. Les calculs demandés restent des calculs sur des expressions simples ; il ne s’agit pas de formaliser la notion de limite.

Exemple entièrement détaillé

Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$, calculons le taux de variation entre $3$ et $3+h$, puis le nombre dérivé.

$$\begin{aligned} f(3+h)&=(3+h)^2=9+6h+h^2,\\ f(3)&=3^2=9,\\ \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{9+6h+h^2-9}{h}\\ &=\frac{6h+h^2}{h}\\ &=6+h \qquad h\neq0. \end{aligned}$$

Quand $h$ se rapproche de $0$, $6+h$ se rapproche de $6$. Ainsi $$\boxed{f'(3)=6.}$$ La pente de la courbe de $x\mapsto x^2$ au point d’abscisse $3$ est donc $6$. Pour $h=0{,}1$, la pente de la sécante vaut $6{,}1$, déjà proche de $6$.

La tangente

La tangente est la droite qui décrit la direction de la courbe au voisinage du point étudié. Elle passe par $A(a;f(a))$ et son coefficient directeur est $f'(a)$. L’équation de la tangente est donc $$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a).}$$ Il est important de conserver la forme $x-a$ : elle montre que la droite contient bien le point d’abscisse $a$.

Exemple entièrement détaillé

Soit $f(x)=x^2-3x+1$. Déterminons la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$.

1. L’ordonnée du point est $$f(2)=2^2-3\times2+1=4-6+1=-1.$$ Le point est donc $A(2;-1)$.

2. La dérivée de $f$ sera calculée dans la section suivante : $f'(x)=2x-3$. Ainsi $$f'(2)=2\times2-3=1.$$

3. On utilise la formule de la tangente : $$\begin{aligned} y&=f(2)+f'(2)(x-2)\\ &=-1+1(x-2)\\ &=x-3. \end{aligned}$$

La tangente cherchée est donc $\boxed{y=x-3}$. Elle passe bien par $A(2;-1)$, car $2-3=-1$, et sa pente vaut bien $1$.

Interpréter un nombre dérivé

Le nombre dérivé dépend des unités. Si $t$ est en secondes et $d(t)$ en mètres, alors $d'(t)$ est en mètres par seconde : il représente une vitesse instantanée. Si $C(q)$ est un coût en euros pour une quantité $q$, alors $C'(q)$ s’interprète comme un coût marginal, en euros par unité, dans le modèle étudié.

À retenirLe taux de variation est une pente moyenne entre deux points. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente instantanée au point d’abscisse $a$. La tangente en ce point a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Fiche 03 / 07

2. La fonction dérivée et les règles de calcul

Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle si elle possède un nombre dérivé en chaque point de cet intervalle. On peut alors définir une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée et notée $f'$, qui associe à $x$ le nombre dérivé $f'(x)$.

Il faut distinguer :

• $f(x)$, l’image de $x$ par la fonction étudiée ;

• $f'(x)$, la pente de la courbe de $f$ à l’abscisse $x$ ;

• $f'(a)$, un nombre particulier obtenu en remplaçant $x$ par $a$ dans la formule de $f'$.

Dérivées des fonctions de référence

Dans le tableau, $n$ est un entier relatif lorsque la formule contient $x^n$, et les expressions sont considérées là où elles sont définies.

La fonction valeur absolue est un cas à connaître : $x\mapsto\left\lvert x\right\rvert$ est dérivable pour $x\neq0$, avec dérivée $-1$ si $x<0$ et $1$ si $x>0$, mais elle n’est pas dérivable en $0$. Son graphe forme un angle en ce point, ce qui empêche d’avoir une tangente unique.

Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle, alors : $$\begin{aligned} (u+v)'&=u'+v',\\ (ku)'&=ku' \qquad (k\text{ constant}),\\ (uv)'&=u'v+uv',\\ \left(\frac1v\right)'&=-\frac{v'}{v^2}\qquad (v\neq0),\\ \left(\frac{u}{v}\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\qquad (v\neq0). \end{aligned}$$

En première, on utilise en particulier la dérivée d’une expression de la forme $g(ax+b)$, où $a$ et $b$ sont constants : $$\boxed{\bigl(g(ax+b)\bigr)'=a\,g'(ax+b).}$$ La dérivée de la fonction intérieure $x\mapsto ax+b$ est $a$. La règle générale des fonctions composées sera étudiée dans le chapitre 08.

Méthode

Pour dériver une expression :

1. repérer la forme de chaque terme et son domaine ;

2. découper l’expression en somme, produit ou quotient ;

3. appliquer une seule règle à la fois en introduisant $u$ et $v$ si cela rend les calculs plus lisibles ;

4. réduire et, si possible, factoriser la dérivée pour en étudier le signe.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la dérivée de $$f(x)=(2x-1)(x^2+3).$$ On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x^2+3$. Alors $$u'(x)=2,\qquad v'(x)=2x.$$ La règle du produit donne $$\begin{aligned} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=2(x^2+3)+(2x-1)(2x)\\ &=2x^2+6+4x^2-2x\\ &=6x^2-2x+6. \end{aligned}$$ Ainsi $\boxed{f'(x)=6x^2-2x+6}$. Il est possible de développer d’abord $f$, mais la règle du produit évite parfois une étape.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la dérivée de $$g(x)=\frac{x^2+1}{x-2}.$$ Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Avec $u=x^2+1$ et $v=x-2$, $u'=2x$ et $v'=1$. La règle du quotient donne $$\begin{aligned} g'(x)&=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)\times1}{(x-2)^2}\\ &=\frac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2)^2}\\ &=\boxed{\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}}. \end{aligned}$$ Le dénominateur est positif pour $x\neq2$. Pour le signe de $g'$, il restera donc à étudier le numérateur $x^2-4x-1$.

À retenirPour une dérivée, ne jamais dériver un produit ou un quotient comme si chaque facteur était indépendant de l’autre. Pour un produit, utiliser $u'v+uv'$. Pour un quotient, utiliser $(u'v-uv')/v^2$.

Fiche 04 / 07

3. Du signe de la dérivée aux variations

Le lien fondamental

Sur un intervalle, le signe de $f'$ indique le sens de variation de $f$ :

• si $f'(x)>0$ sur l’intervalle, alors $f$ est strictement croissante ;

• si $f'(x)<0$ sur l’intervalle, alors $f$ est strictement décroissante ;

• si $f'(x)=0$ sur tout l’intervalle, alors $f$ est constante.

Aux points où $f'(x)=0$, la courbe possède une tangente horizontale. Un tel point est un candidat à un extremum, mais il faut regarder le changement de signe de $f'$ :

• $+$ puis $-$ : maximum local ;

• $-$ puis $+$ : minimum local ;

• pas de changement de signe : pas d’extremum local par ce critère.

Exemple entièrement détaillé

Étudions les variations de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$.

Étape 1 – dérivée. $$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Étape 2 – zéros et signe. Les zéros de $f'$ sont $-1$ et $1$. Comme $3>0$, le signe de $f'$ est celui de $(x-1)(x+1)$ : positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

$x$	$]-\infty,-1[$	$-1$	$]-1,1[$	$1$	$]1,+\infty[$
$f'(x)$	(+)	(0)	(-)	(0)	(+)
$f$	$\nearrow$	maximum	$\searrow$	minimum	$\nearrow$

Étape 3 – valeurs aux points remarquables. $$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2, \qquad f(1)=1-3=-2.$$ La fonction atteint donc un maximum local égal à $2$ en $-1$, puis un minimum local égal à $-2$ en $1$.

Construire un tableau de variations

Un tableau de variations lisible comporte :

1. l’ensemble de définition et les bornes de l’intervalle étudié ;

2. les valeurs qui annulent la dérivée ou qui séparent le domaine ;

3. le signe de $f'$ ;

4. les flèches de variation de $f$ et les valeurs utiles de $f$.

Les limites aux bornes, lorsqu’elles ont déjà été étudiées, complètent le tableau. Une valeur $f'(a)=0$ ne suffit pas à conclure à un maximum ou à un minimum.

Établir une inégalité avec une variation

Pour montrer que $f(x)\geq f(a)$ pour tout $x$ dans un intervalle, on peut montrer que $f$ possède un minimum en $a$. On étudie alors les variations avec $f'$, puis on traduit le résultat en inégalité.

Exemple entièrement détaillé

Montrons que, pour tout réel $x$, $$x^2-4x+7\geq3.$$ On pose $f(x)=x^2-4x+7$. Alors $$f'(x)=2x-4=2(x-2).$$ La dérivée est négative si $x<2$, nulle en $2$, positive si $x>2$. La fonction décroît puis croît : elle atteint donc son minimum en $2$. Sa valeur minimale est $$f(2)=4-8+7=3.$$ On en déduit bien, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $$\boxed{x^2-4x+7\geq3.}$$ Cette démarche revient ici à la forme canonique $x^2-4x+7=(x-2)^2+3$, mais elle prépare les inégalités où la forme canonique n’est pas disponible.

Comparer deux courbes

Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$, on étudie souvent la fonction différence $$h(x)=f(x)-g(x).$$ Alors :

• $h(x)>0$ signifie $f(x)>g(x)$, donc la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ ;

• $h(x)=0$ donne les abscisses des points d’intersection ;

• $h(x)<0$ signifie que la courbe de $f$ est en dessous.

À retenirPour étudier les variations : calculer $f'$, résoudre $f'(x)=0$, établir son signe, puis lire les flèches. Pour conclure sur un extremum, vérifier le changement de signe et calculer la valeur de $f$.

Fiche 05 / 07

4. Optimisation et modèles de variation

Une démarche en quatre étapes

Un problème d’optimisation demande de rendre une quantité aussi grande ou aussi petite que possible. La méthode est :

1. choisir la variable et préciser son unité ;

2. exprimer la quantité à optimiser par une fonction $f$ ;

3. déterminer le domaine imposé par la situation ;

4. étudier les variations de $f$, puis interpréter l’extremum avec les unités et les contraintes du problème.

Exemple entièrement détaillé

On dispose de $20$ mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur. Le mur constitue un côté : on ne grille donc que les deux largeurs et la longueur opposée au mur. Quelles dimensions donnent l’aire maximale ?

Modélisation. Soit $x$ la largeur, en mètres, et $y$ la longueur grillée opposée au mur. La quantité de grillage impose $$2x+y=20, \qquad\text{donc}\qquad y=20-2x.$$ Les longueurs doivent être positives : $0<x<10$. L’aire vaut $$A(x)=x\times y=x(20-2x)=20x-2x^2.$$

Étude des variations. On dérive : $$A'(x)=20-4x=4(5-x).$$ Sur $]0,5[$, $A'(x)>0$ ; en $5$, $A'(5)=0$ ; sur $]5,10[$, $A'(x)<0$. L’aire augmente puis diminue : elle est maximale pour $x=5$.

Interprétation. La longueur opposée au mur vaut $$y=20-2\times5=10\ \text{m},$$ et l’aire maximale est $$A(5)=5\times10=50\ \text{m}^2.$$ Réponse : il faut une largeur de $5$ m et une longueur de $10$ m ; l’aire maximale est $50\ \text{m}^2$.

La fonction exponentielle comme modèle

La fonction exponentielle est notée $x\mapsto e^x$. Elle est strictement positive et vérifie $$\left(e^x\right)'=e^x.$$ Comme $e^x>0$ pour tout $x$, elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour un réel $k$, la fonction $x\mapsto e^{kx}$ a pour dérivée $$\left(e^{kx}\right)'=k e^{kx}.$$ Ainsi $e^{-kx}$ est décroissante lorsque $k>0$. Cela permet de modéliser une croissance ou une décroissance continue.

Exemple entièrement détaillé

Une quantité $Q(t)$, en grammes, est modélisée par $$Q(t)=800e^{-0{,}12t},$$ où $t$ est exprimé en heures. Sa vitesse de variation est $$Q'(t)=800\times(-0{,}12)e^{-0{,}12t} =-96e^{-0{,}12t}\ \text{g/h}.$$ Comme l’exponentielle est positive, $Q'(t)<0$ : la quantité diminue à tout instant. À $t=5$, $$Q'(5)=-96e^{-0{,}6}\approx-52{,}7\ \text{g/h}.$$ Le signe négatif indique une diminution ; sa valeur absolue représente la vitesse de diminution à cet instant.

À retenirDans un modèle, le signe de la dérivée donne le sens de l’évolution. Une dérivée négative n’est pas une « mauvaise réponse » : elle signifie que la quantité diminue. Toujours conserver les unités dans la phrase finale.

Fiche 06 / 07

Exercices gradués

Les exercices sont classés du plus guidé au plus autonome. Pour chacun, identifier d’abord la compétence travaillée et écrire les calculs utiles. Les corrections détaillées sont dans corrections.pdf.

Fiche 07 / 07

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Bilan à relire avant un exercice

1. Un taux de variation entre $a$ et $b$ est $\bigl(f(b)-f(a)\bigr)/(b-a)$.

2. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite des taux de variation quand le second point se rapproche de $a$. Il représente la pente de la tangente.

3. La tangente en $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

4. Pour étudier les variations, calculer le signe de $f'$, pas seulement les valeurs de $f$.

5. Un zéro de $f'$ est un candidat à un extremum ; le changement de signe permet de conclure.

6. Dans un problème concret, préciser la variable, le domaine et les unités.

Erreurs fréquentes à analyser

• Écrire $f'(a)=f(a)$ : la dérivée et la fonction ne donnent pas la même information.

• Écrire $(uv)'=u'v'$ : la bonne formule est (u’v+uv’).

• Oublier le carré du dénominateur dans la dérivée d’un quotient.

• Conclure « maximum » dès que $f'(a)=0$, sans examiner le signe autour de $a$.

• Donner une valeur numérique sans unité ou sans phrase d’interprétation.

• Utiliser $\sqrt{x}'=1/(2\sqrt{x})$ en $x=0$ : cette formule ne donne pas une dérivée en $0$, et la fonction racine n’y est pas dérivable.

Auto-évaluation

Cocher une compétence seulement si elle peut être expliquée et appliquée sur un exemple nouveau :

Rappel différé

À refaire quelques jours plus tard, sans relire le cours auparavant :

1. Pour $f(x)=x^2$, expliquer avec un calcul pourquoi $f'(a)=2a$.

2. Déterminer l’équation de la tangente à $y=e^x$ en $x=0$.

3. Étudier les variations de $g(x)=x^2-6x+5$.

4. Un rectangle de périmètre fixé a-t-il toujours une aire maximale ? Décrire la démarche, même sans refaire tous les calculs.

À retenirEn cas de blocage, revenir à trois questions : quelle quantité varie ? Quelle est la fonction qui la décrit ? Le signe de sa dérivée que dit-il de son évolution ?

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.