Corrections expliquées.
Fonction exponentielle.

Correction D1 – Puissances et signes

On respecte les parenthèses et la priorité de la puissance : $$2^3=8, \qquad 2^{-2}=\frac1{2^2}=\frac14, \qquad (-2)^2=4, \qquad -2^2=-(2^2)=-4.$$ La différence entre $(-2)^2$ et $-2^2$ vient des parenthèses.

Correction D2 – Taux d’évolution

Une hausse de $5\,\%$ correspond au coefficient $$1+\frac5{100}=1{,}05.$$ Le nouveau prix est donc $$80\times1{,}05=\boxed{84\text{ euros}}.$$ Une baisse de $12\,\%$ correspond au coefficient $$1-\frac{12}{100}=\boxed{0{,}88}.$$

Correction D3 – Équation et inéquation

Pour l’équation : $$\begin{aligned} 2x-3&=7,\\ 2x&=10,\\ x&=\boxed{5}. \end{aligned}$$

Pour l’inéquation : $$\begin{aligned} -4x+1&\geq9,\\ -4x&\geq8,\\ x&\leq-2. \end{aligned}$$ À la dernière étape, on divise par $-4$, donc le sens de l’inégalité est inversé. L’ensemble des solutions est $\boxed{]-\infty,-2]}$.

Correction D4 – Dérivée et signe

On remplace $x$ par $2$ : $$p(2)=2^2-3\times2+1=4-6+1=\boxed{-1}.$$ La dérivée se calcule terme à terme : $$\boxed{p'(x)=2x-3}.$$ Comme le coefficient de $x$ est positif, $$2x-3<0\text{ si }x<\frac32, \qquad 2x-3=0\text{ si }x=\frac32, \qquad 2x-3>0\text{ si }x>\frac32.$$

Correction D5 – Suite géométrique

Une hausse de $10\,\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1{,}10$. Ainsi, $$u_1=200\times1{,}10=\boxed{220}, \qquad u_2=220\times1{,}10=\boxed{242}.$$ Le coefficient d’une année à la suivante est donc $\boxed{1{,}10}$.

Correction D6 – Lire le sens de variation

Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. En langage courant, lorsque $x$ augmente, la valeur de $f(x)$ augmente aussi.

Correction D7 – Comprendre une limite

La notation $x\to-\infty$ signifie que $x$ prend des valeurs négatives dont la valeur absolue devient de plus en plus grande, par exemple $-100$, $-1000$, puis $-10000$.

La notation $x\to0^+$ signifie que $x$ se rapproche de zéro en restant strictement positif, par exemple $0{,}1$, $0{,}01$, puis $0{,}001$. Elle n’autorise donc pas la valeur $x=0$.

Correction D8 – Lire une formule

Enfin, $$\begin{aligned} q(t+1)&=300\times1{,}04^{t+1}\\ &=300\times1{,}04^t\times1{,}04\\ &=\boxed{1{,}04q(t)}. \end{aligned}$$

Correction 1 — Valeurs, signe et comparaison

b) Comme $-2<-1$ et que l’exponentielle est strictement croissante, $$\boxed{\mathrm e^{-2}<\mathrm e^{-1}}.$$ De même, $0<0{,}5$, donc $$\boxed{\mathrm e^0<\mathrm e^{0{,}5}}.$$

c) Pour tout réel $x$, $\mathrm e^x>0$. L’exponentielle ne peut donc être ni nulle ni négative.

d) À la calculatrice, $$\mathrm e^{-2}\approx0{,}135335.$$ Au millième, $$\boxed{\mathrm e^{-2}\approx0{,}135}.$$

Correction 2 — Transformer une expression

On utilise la formule du produit puis celle du quotient.

a) $$\begin{aligned} A&=\mathrm e^{2x+1}\mathrm e^{x-4}\\ &=\mathrm e^{(2x+1)+(x-4)}\\ &=\boxed{\mathrm e^{3x-3}}. \end{aligned}$$

b) $$\begin{aligned} B&=\frac{\mathrm e^{5x}}{\mathrm e^{2x+1}}\\ &=\mathrm e^{5x-(2x+1)}\\ &=\boxed{\mathrm e^{3x-1}}. \end{aligned}$$

c) $$\begin{aligned} C&=\frac{\mathrm e^{x+2}}{\mathrm e^x}\\ &=\mathrm e^{(x+2)-x}\\ &=\boxed{\mathrm e^2}. \end{aligned}$$

Correction 3 — Suite géométrique et croissance

b) $$\begin{aligned} u_{n+1}&=50\mathrm e^{0{,}08(n+1)}\\ &=50\mathrm e^{0{,}08n+0{,}08}\\ &=50\mathrm e^{0{,}08n}\mathrm e^{0{,}08}\\ &=\boxed{\mathrm e^{0{,}08}u_n}. \end{aligned}$$

c) La raison est $\mathrm e^{0{,}08}$. Comme $0{,}08>0$ et que l’exponentielle est croissante, $\mathrm e^{0{,}08}>\mathrm e^0=1$. La suite est donc strictement croissante. Le facteur $\mathrm e^{0{,}08}$ est le coefficient multiplicateur d’une période dans ce modèle.

Correction 4 — Dérivées et variations directes

b) Pour $g(x)=(x+1)\mathrm e^x$, on utilise la dérivée d’un produit : $$\begin{aligned} g'(x)&=1\times\mathrm e^x+(x+1)\times\mathrm e^x\\ &=(x+2)\mathrm e^x. \end{aligned}$$ Comme $\mathrm e^x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $x+2$. Ainsi, $g$ décroît sur $]-\infty,-2]$, puis croît sur $[-2,+\infty[$. Elle atteint son minimum en $-2$, égal à $$g(-2)=(-1)\mathrm e^{-2}=\boxed{-\mathrm e^{-2}}.$$

Correction 5 — Tangente et inégalité

b) On pose $h(x)=\mathrm e^x-x-1$. Son domaine est $\mathbb{R}$ et $$h'(x)=\mathrm e^x-1.$$ Comme l’exponentielle est strictement croissante et vaut $1$ en zéro, $$h'(x)<0\text{ si }x<0, \qquad h'(0)=0, \qquad h'(x)>0\text{ si }x>0.$$ La fonction décroît puis croît ; son minimum est atteint en zéro. Il vaut $$h(0)=1-0-1=\boxed{0}.$$

c) Dire que le minimum vaut zéro signifie que, pour tout réel $x$, $$h(x)\geq0 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\mathrm e^x\geq1+x}.$$ L’égalité a lieu seulement lorsque $x=0$.

Correction 6 — Limites et croissance comparée

b) Lorsque $x\to-\infty$, $2x+5\to-\infty$. Donc $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{2x+5}=0}.$$

c) Le numérateur est un polynôme de degré $3$, et l’exponentielle domine toute puissance entière positive à $+\infty$. Ainsi $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-7}{\mathrm e^x}=0}.$$

d) Posons $t=-x$. Alors $t\to+\infty$ et $$x^2\mathrm e^x=t^2\mathrm e^{-t}=\frac{t^2}{\mathrm e^t}.$$ La croissance comparée donne donc $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^2\mathrm e^x=0}.$$

Correction 7 — Équations et inéquations

b) Comme l’exponentielle est croissante, $$\begin{aligned} \mathrm e^{-3x+2}\geq\mathrm e^{-4} &\Longleftrightarrow -3x+2\geq-4\\ &\Longleftrightarrow -3x\geq-6\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x\leq2}. \end{aligned}$$ La dernière division par $-3$ inverse le sens.

c) On commence par isoler l’exponentielle : $$\begin{aligned} 3\mathrm e^{x+1}=12 &\Longleftrightarrow \mathrm e^{x+1}=4\\ &\Longleftrightarrow x+1=\ln(4)\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x=\ln(4)-1}. \end{aligned}$$ Avec $\ln(4)\approx1{,}3863$, $$\boxed{x\approx0{,}386}.$$ L’unicité vient de la stricte croissance de l’exponentielle. Si le logarithme n’a pas encore été étudié, la calculatrice permet d’encadrer cette unique solution, mais ne donne pas la transformation exacte à elle seule.

Correction ?

8 – Étude de la fonction $x\mathrm e^{-x}$ a) La fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Avec la dérivée d’un produit, $$\begin{aligned} f'(x)&=1\times\mathrm e^{-x}+x\times(-\mathrm e^{-x})\\ &=(1-x)\mathrm e^{-x}. \end{aligned}$$ Ainsi $\boxed{f'(x)=(1-x)\mathrm e^{-x}}$.

b) Comme $\mathrm e^{-x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x$ : $$f'(x)>0\text{ si }x<1, \qquad f'(1)=0, \qquad f'(x)<0\text{ si }x>1.$$ La fonction croît sur $]-\infty,1]$, puis décroît sur $[1,+\infty[$.

c) Lorsque $x\to-\infty$, posons $t=-x$. Alors $$x\mathrm e^{-x}=(-t)\mathrm e^t\longrightarrow-\infty.$$ Lorsque $x\to+\infty$, $$x\mathrm e^{-x}=\frac{x}{\mathrm e^x}\longrightarrow0$$ par croissance comparée. Donc $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0}.$$

d) Le maximum est atteint en $x=1$ : $$f(1)=1\times\mathrm e^{-1}=\boxed{\frac1{\mathrm e}}.$$

Correction 9 — Problème : une population modélisée

b) On dérive : $$P'(t)=0{,}06\times2000\mathrm e^{0{,}06t}.$$ Les deux facteurs sont positifs, donc $P'(t)>0$. La population est strictement croissante.

c) $$\begin{aligned} P(12)&=2000\mathrm e^{0{,}72}\\ &\approx2000\times2{,}05443\\ &\approx\boxed{4109\text{ bactéries}}. \end{aligned}$$ Selon le nombre de chiffres conservés par la calculatrice, $\mathrm e^{0{,}72}\approx2{,}0544$, ce qui donne environ $4109$.

d) Le dépassement de $3000$ correspond à $$\begin{aligned} 2000\mathrm e^{0{,}06t}>3000 &\Longleftrightarrow \mathrm e^{0{,}06t}>1{,}5\\ &\Longleftrightarrow 0{,}06t>\ln(1{,}5)\\ &\Longleftrightarrow t>\frac{\ln(1{,}5)}{0{,}06}. \end{aligned}$$ Comme $\ln(1{,}5)\approx0{,}4055$, $$t>\frac{0{,}4055}{0{,}06}\approx6{,}8.$$ La population dépasse donc $3000$ bactéries après environ $\boxed{6{,}8\text{ heures}}$.

Correction 10 — Synthèse : décroissance et seuil

b) Pour tout $t$, $90\mathrm e^{-0{,}25t}>0$. Le coefficient $-0{,}25$ est négatif, donc $C'(t)<0$. La concentration est strictement décroissante.

De plus, lorsque $t\to+\infty$, $-0{,}25t\to-\infty$, donc $$\boxed{\lim_{t\to+\infty}C(t)=0}.$$

c) On cherche $$\begin{aligned} 90\mathrm e^{-0{,}25t}\leq20 &\Longleftrightarrow \mathrm e^{-0{,}25t}\leq\frac29\\ &\Longleftrightarrow -0{,}25t\leq\ln\left(\frac29\right)\\ &\Longleftrightarrow t\geq\frac{\ln(2/9)}{-0{,}25}\\ &\Longleftrightarrow t\geq\frac{\ln(9/2)}{0{,}25}. \end{aligned}$$ La division par $-0{,}25$ inverse le sens de l’inégalité. Avec $\ln(9/2)\approx1{,}5041$, $$t\geq\frac{1{,}5041}{0{,}25}\approx6{,}0.$$ L’instant exact est environ $6{,}016$ heures ; au dixième, $\boxed{t\approx6{,}0\text{ heures}}$.

d) La concentration devient inférieure ou égale à $20$ milligrammes par litre à partir d’environ six heures après la prise, et reste ensuite inférieure à ce seuil puisque le modèle est décroissant.

Correction R1

Correction R2

L’exposant est $u(x)=4x+1$, donc $u'(x)=4$. Par la formule de composition, $$\boxed{f'(x)=4\mathrm e^{4x+1}}.$$

Correction R3

Par injectivité de l’exponentielle, $$\begin{aligned} \mathrm e^{x-2}=\mathrm e^3 &\Longleftrightarrow x-2=3\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x=5}. \end{aligned}$$

Correction R4

Le numérateur est un polynôme de degré $2$, tandis que l’exponentielle domine toute puissance entière positive à $+\infty$. Donc $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{\mathrm e^x}=0}.$$

Correction R5

Dans $M(t)=40\mathrm e^{-0{,}1t}$, le coefficient $-0{,}1$ est négatif. Lorsque $t$ augmente, l’exposant diminue, donc le modèle décrit une décroissance. La valeur initiale est $$M(0)=40\mathrm e^0=\boxed{40}.$$