Fonction exponentielle.
Modéliser une croissance, une décroiss

Fiche 01 / 09

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, noter simplement le numéro et continuer.

Les prérequis indispensables

Pour commencer sereinement, il faut surtout savoir :

• calculer avec les puissances, y compris une puissance négative ;

• reconnaître un coefficient multiplicateur, par exemple $1+5/100=1{,}05$ pour une hausse de $5\,\%$ ;

• dériver une fonction simple et utiliser le signe de sa dérivée ;

• lire une formule de fonction et distinguer une valeur exacte d’une valeur approchée ;

• comprendre qu’une limite décrit un comportement lorsque la variable s’approche d’une valeur ou devient très grande en valeur absolue.

Une difficulté dans le diagnostic n’empêche pas d’étudier l’exponentielle. Elle indique simplement le rappel à faire en priorité. Les corrections du diagnostic sont au début du fascicule séparé.

Fiche 02 / 09

1. Pourquoi une fonction exponentielle ?

L’idée essentielle : un même pourcentage à chaque instant

Une hausse de $5\,\%$ signifie que l’on multiplie par $1+5/100=1{,}05$. Si une somme initiale de $100$ euros subit cette hausse une fois, deux fois, puis trois fois, on obtient : $$100,\qquad 100\times1{,}05,\qquad 100\times1{,}05^2,\qquad 100\times1{,}05^3.$$ Le nombre de périodes est entier : c’est une évolution discrète, modélisée par une suite géométrique.

Dans de nombreuses situations, le temps est continu : une quantité peut évoluer à chaque instant, pas seulement à la fin de chaque année. La fonction exponentielle prolonge l’idée de la puissance à un exposant réel et décrit une évolution dont le taux de variation relatif reste constant.

Définition de la fonction exponentielle

On admet qu’il existe une unique fonction $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, qui vérifie simultanément $$f'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(0)=1.$$ Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle. On la note $\exp$, et l’on écrit aussi $$\exp(x)=\mathrm e^x.$$

Le nombre $\mathrm e$ est la valeur $\exp(1)$. Il vaut environ $2{,}71828$. Le symbole $\mathrm e^x$ signifie donc « l’exponentielle de $x$ », et non pas $\mathrm e$ multiplié par $x$.

Les premières valeurs sont : $$\mathrm e^0=1, \qquad \mathrm e^1=\mathrm e\approx2{,}718, \qquad \mathrm e^{-1}=\frac1{\mathrm e}\approx0{,}368.$$

Exemple entièrement détaillé

Calculons exactement puis approximativement trois valeurs.

Étape 1 – exposant nul. Par la condition initiale, $$\mathrm e^0=1.$$

Étape 2 – exposant $1$. Par définition du nombre $\mathrm e$, $$\mathrm e^1=\mathrm e\approx2{,}718.$$

Étape 3 – exposant négatif. La propriété $\mathrm e^x\mathrm e^{-x}=1$, démontrée dans la section suivante, donne $$\mathrm e^{-1}=\frac1{\mathrm e}\approx0{,}368.$$

Interprétation. Un exposant négatif produit ici un nombre positif plus petit que $1$. Il ne rend pas l’exponentielle négative.

Un premier fait important : l’exponentielle est positive

Pour tout réel $x$, $$\boxed{\mathrm e^x>0.}$$ Elle ne vaut donc jamais zéro et ne prend jamais de valeur négative. Cette propriété sera utilisée pour étudier le signe d’un produit ou pour comparer des expressions.

À retenirLa fonction exponentielle est définie sur tout $\mathbb{R}$. On écrit $\exp(x)=\mathrm e^x$, on a $\mathrm e^0=1$ et, pour tout réel $x$, $\mathrm e^x>0$. Le nombre $\mathrm e$ vaut environ $2{,}718$.

Fiche 03 / 09

2. Les propriétés algébriques

La formule fondamentale

Pour tous réels $x$ et $y$, $$\boxed{\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x\times\mathrm e^y.}$$ L’exposant d’un produit s’additionne donc dans le sens suivant : on peut remplacer un produit d’exponentielles de même base par une seule exponentielle.

En prenant $y=-x$, on obtient $$\mathrm e^x\mathrm e^{-x}=\mathrm e^{x-x}=\mathrm e^0=1,$$ donc $$\boxed{\mathrm e^{-x}=\frac1{\mathrm e^x}}.$$ En particulier, pour tous réels $x$ et $y$, $$\boxed{\mathrm e^{x-y}=\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^y}}.$$

Pour un entier $n$, la formule se prolonge par $$(\mathrm e^x)^n=\mathrm e^{nx}.$$ Il faut distinguer cette règle de la fausse égalité $\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x+\mathrm e^y$, qui est en général fausse.

Exemple entièrement détaillé

Simplifions, pour tout réel $x$, $$A=\frac{\mathrm e^{2x+1}\mathrm e^{x-4}}{\mathrm e^x}.$$

Étape 1 – regrouper le produit au numérateur. $$\mathrm e^{2x+1}\mathrm e^{x-4} =\mathrm e^{(2x+1)+(x-4)} =\mathrm e^{3x-3}.$$

Étape 2 – diviser par l’exponentielle du dénominateur. $$A=\frac{\mathrm e^{3x-3}}{\mathrm e^x} =\mathrm e^{(3x-3)-x} =\boxed{\mathrm e^{2x-3}}.$$

Contrôle. Les exposants ont été additionnés pour le produit puis soustraits pour le quotient. Aucun développement de $\mathrm e^x$ n’était nécessaire.

Lien avec les suites géométriques

Fixons un réel $a$ et définissons, pour $n\in\mathbb{N}$, $$u_n=\mathrm e^{na}.$$ Alors $$\begin{aligned} u_{n+1} &=\mathrm e^{(n+1)a}\\ &=\mathrm e^{na+a}\\ &=\mathrm e^{na}\mathrm e^a\\ &=u_n\mathrm e^a. \end{aligned}$$ La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\mathrm e^a$. Cela fait le lien entre une évolution à temps discret et une évolution exponentielle à temps continu.

Exemple entièrement détaillé

Une quantité est multipliée par $\mathrm e^{0{,}2}$ à chaque période et vaut $50$ au départ. Après $n$ périodes, son modèle est $$u_n=50\mathrm e^{0{,}2n}.$$ La raison de la suite est $\mathrm e^{0{,}2}$, qui est supérieure à $1$ car $0{,}2>0$. La suite est donc croissante.

Calculer une valeur avec une calculatrice

La touche $\mathrm e^x$, souvent notée $\mathtt{exp}$ ou $\mathtt{e^x}$, permet d’obtenir une valeur approchée. Il faut conserver quelques chiffres pendant les calculs et arrondir seulement à la fin.

Par exemple, $$\mathrm e^{0{,}2}\approx1{,}2214, \qquad 100\mathrm e^{0{,}2}\approx122{,}14.$$ L’égalité exacte est la première écriture ; le symbole $\approx$ signale le résultat arrondi.

À retenir$\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x\mathrm e^y$, $\mathrm e^{-x}=1/\mathrm e^x$ et $\mathrm e^{x-y}=\mathrm e^x/\mathrm e^y$. Pour simplifier, on ne développe pas l’exponentielle : on travaille sur ses exposants.

Fiche 04 / 09

3. Dérivée, signe, variations et tangente

La dérivée de l’exponentielle

La définition donne immédiatement $$\boxed{\left(\mathrm e^x\right)'=\mathrm e^x.}$$ La fonction exponentielle est la seule fonction usuelle qui reste identique quand on la dérive. Si $u$ est une fonction dérivable, la dérivée composée est $$\boxed{\left(\mathrm e^{u(x)}\right)'=u'(x)\mathrm e^{u(x)}}.$$ Il faut donc dériver l’exposant et conserver l’exponentielle.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la dérivée de $$f(x)=\mathrm e^{3x-2}.$$

Étape 1 – identifier l’exposant. Posons $u(x)=3x-2$. Alors $u'(x)=3$.

Étape 2 – appliquer la formule de composition. $$f'(x)=u'(x)\mathrm e^{u(x)} =\boxed{3\mathrm e^{3x-2}}.$$

Étape 3 – étudier le signe. Pour tout $x$, $\mathrm e^{3x-2}>0$, donc $f'(x)>0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Pour un réel $a$, la fonction $t\mapsto\mathrm e^{at}$ vérifie $$\boxed{\left(\mathrm e^{at}\right)'=a\mathrm e^{at}}.$$ Ainsi, si $a>0$, elle est croissante ; si $a<0$, elle est décroissante ; si $a=0$, elle est constante égale à $1$.

Variations de la fonction exponentielle

Comme $\mathrm e^x>0$, on a $$(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x>0.$$ La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour tous réels $x<y$, $$\boxed{\mathrm e^x<\mathrm e^y.}$$ Cette propriété permet de comparer ou de résoudre des expressions exponentielles sans calculatrice.

Tangente en un point

La tangente à la courbe d’une fonction $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$ Pour $f(x)=\mathrm e^x$, on a $f(a)=f'(a)=\mathrm e^a$. La tangente est donc $$\boxed{y=\mathrm e^a+\mathrm e^a(x-a)}.$$ En particulier, en $a=0$, elle a pour équation $$\boxed{y=1+x}.$$

La tangente donne une approximation près du point étudié : si $h$ est petit, $$\mathrm e^h\approx1+h.$$ Cette approximation n’est pas une égalité pour tout $h$.

Exemple entièrement détaillé

Étudions la fonction $$h(x)=\mathrm e^x-x-1.$$

Étape 1 – domaine. L’exponentielle et la fonction affine sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $\mathcal{D}_h=\mathbb{R}$.

Étape 2 – dérivée. $$h'(x)=\mathrm e^x-1.$$

Étape 3 – signe de la dérivée. Comme l’exponentielle est strictement croissante et $\mathrm e^0=1$, $$h'(x)<0\text{ si }x<0, \qquad h'(0)=0, \qquad h'(x)>0\text{ si }x>0.$$

Étape 4 – variations. La fonction $h$ décroît sur $]-\infty,0]$, puis croît sur $[0,+\infty[$. Elle atteint donc son minimum en $0$.

Étape 5 – calcul du minimum. $$h(0)=\mathrm e^0-0-1=0.$$ On en déduit l’inégalité, valable pour tout réel $x$, $$\boxed{\mathrm e^x\geq1+x,}$$ avec égalité seulement pour $x=0$.

À retenirLa dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ est $u'(x)\mathrm e^{u(x)}$. Comme une exponentielle est toujours positive, $\mathrm e^x$ est strictement croissante. Ne pas oublier le facteur $u'(x)$ dans une composée.

Fiche 05 / 09

4. Limites et croissance comparée

Les limites de référence

Lorsque l’exposant devient très grand, l’exponentielle devient aussi grande que l’on veut. Lorsqu’il devient très négatif, elle se rapproche de zéro sans jamais l’atteindre : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty,} \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0.}$$

L’axe des abscisses, d’équation $y=0$, est donc une asymptote horizontale à la courbe de $\mathrm e^x$ lorsque $x\to-\infty$.

Pour $a$ réel, le signe de $a$ change le sens de l’évolution :

L’exponentielle domine les puissances

À l’infini, la fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance entière positive. Pour tout entier $n\geq1$, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{\mathrm e^x}=0.}$$ Une écriture équivalente, souvent pratique, est $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}x^n\mathrm e^{-x}=0.}$$ Ce résultat est utilisé en terminale pour les calculs de limites et les croissances comparées. Il ne signifie pas que $x^n$ reste petit : les deux quantités deviennent grandes, mais l’exponentielle devient grande beaucoup plus vite.

Exemple entièrement détaillé

Calculons trois limites.

a) Exposant affine à l’infini. Comme $3x-1\to+\infty$ lorsque $x\to+\infty$, $$\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{3x-1}=+\infty.$$

b) Quotient par une exponentielle. Le numérateur est un polynôme de degré $2$, donc la croissance comparée donne $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2+1}{\mathrm e^x}=0.}$$

c) Produit à gauche. Posons $t=-x$. Lorsque $x\to-\infty$, $t\to+\infty$, et $$x\mathrm e^x=-t\mathrm e^{-t}.$$ Or $t\mathrm e^{-t}\to0$ par croissance comparée. Ainsi $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}x\mathrm e^x=0.}$$

Lire une limite dans le contexte

Si $C(t)=80\mathrm e^{-0{,}2t}$, alors, lorsque $t\to+\infty$, $-0{,}2t\to-\infty$, donc $C(t)\to0$. Le modèle décrit une quantité positive qui diminue et se rapproche de zéro. Cela ne signifie pas qu’elle devient négative.

À retenir$\mathrm e^x\to0$ à gauche et $\mathrm e^x\to+\infty$ à droite. Pour $a<0$, $\mathrm e^{ax}$ décroît quand $x$ augmente. À $+\infty$, l’exponentielle domine $x^n$ pour tout entier $n\geq1$.

Fiche 06 / 09

5. Équations, inéquations et études de fonctions

Comparer deux exponentielles

La fonction exponentielle étant strictement croissante, elle conserve l’ordre : pour tous réels $u$ et $v$, $$\begin{aligned} \mathrm e^u=\mathrm e^v&\Longleftrightarrow u=v,\\ \mathrm e^u<\mathrm e^v&\Longleftrightarrow u<v,\\ \mathrm e^u\leq\mathrm e^v&\Longleftrightarrow u\leq v. \end{aligned}$$ La première équivalence exprime l’injectivité de l’exponentielle.

Exemple entièrement détaillé

Résolvons dans $\mathbb{R}$ les deux problèmes suivants.

a) Équation avec la même base. $$\begin{aligned} \mathrm e^{3x-2}=\mathrm e^7 &\Longleftrightarrow 3x-2=7\\ &\Longleftrightarrow 3x=9\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x=3}. \end{aligned}$$

b) Inéquation. $$\begin{aligned} \mathrm e^{-2x+1}<\mathrm e^5 &\Longleftrightarrow -2x+1<5\\ &\Longleftrightarrow -2x<4\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x>-2}. \end{aligned}$$ À la dernière étape, on divise par $-2$, donc le sens de l’inégalité est inversé.

Quand le second membre n’est pas une exponentielle visible

Comme $\mathrm e^u>0$, l’équation $\mathrm e^u=k$ n’a aucune solution si $k\leq0$. Si $k>0$, elle possède une unique solution, car la fonction exponentielle est strictement croissante et prend toutes les valeurs strictement positives.

Pour écrire cette solution exactement lorsque $k$ n’est pas une puissance exponentielle déjà connue, on utilise la fonction logarithme népérien : $$\mathrm e^u=k\quad\Longleftrightarrow\quad u=\ln(k)\qquad(k>0).$$ Cette fonction est étudiée dans le chapitre suivant. Si elle n’a pas encore été vue, on peut obtenir un encadrement ou une valeur approchée à la calculatrice, mais il faut le signaler comme tel.

Étudier une fonction contenant une exponentielle

La méthode est la même que pour les autres fonctions :

1. déterminer le domaine ;

2. calculer la dérivée en identifiant les sommes, produits et composées ;

3. factoriser la dérivée autant que possible ;

4. utiliser le fait que $\mathrm e^{u(x)}>0$ pour étudier son signe ;

5. dresser le tableau de variations et utiliser les limites utiles.

Exemple entièrement détaillé

Étudions les variations de $$f(x)=x\mathrm e^{-x}.$$

Étape 1 – domaine. Les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto\mathrm e^{-x}$ sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$.

Étape 2 – dérivée. Il s’agit d’un produit. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm e^{-x}$, $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm e^{-x}$. Ainsi $$\begin{aligned} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=\mathrm e^{-x}-x\mathrm e^{-x}\\ &=(1-x)\mathrm e^{-x}. \end{aligned}$$

Étape 3 – signe. Pour tout réel $x$, $\mathrm e^{-x}>0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1-x$ : $$f'(x)>0\text{ si }x<1, \qquad f'(1)=0, \qquad f'(x)<0\text{ si }x>1.$$

Étape 4 – variations. La fonction croît sur $]-\infty,1]$, puis décroît sur $[1,+\infty[$. Elle atteint son maximum en $1$ : $$f(1)=\mathrm e^{-1}=\frac1{\mathrm e}\approx0{,}368.$$

Étape 5 – limites. À gauche, $x\mathrm e^{-x}\to-\infty$. À droite, $x\mathrm e^{-x}\to0$ par croissance comparée. Ces limites complètent l’allure du tableau.

À retenirPour résoudre $\mathrm e^{u}=\mathrm e^{v}$, on compare les exposants. Pour une inégalité, l’exponentielle conserve le sens. Dans une étude de fonction, une exponentielle est toujours positive : elle ne change pas le signe d’un produit.

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6. Modèles de croissance, de décroissance et équation différentielle

Le modèle continu

Une évolution exponentielle continue s’écrit souvent $$\boxed{Q(t)=Q_0\mathrm e^{kt}},$$ où :

• $t$ est le temps, exprimé dans une unité précisée ;

• $Q_0=Q(0)$ est la valeur initiale ;

• $k$ est le taux de croissance relatif par unité de temps.

Si $k>0$, la quantité augmente ; si $k<0$, elle diminue. En dérivant, $$Q'(t)=kQ_0\mathrm e^{kt}=kQ(t).$$ La variation instantanée est donc proportionnelle à la quantité présente.

Attention aux unités. Si $t$ est en années, le nombre $k$ est exprimé par année. Si $t$ est en mois, il doit être exprimé par mois. On ne peut pas mélanger directement $0{,}04$ par an et un temps en mois sans convertir.

Exemple entièrement détaillé

Un capital de $1200$ euros suit le modèle de croissance continue $$C(t)=1200\mathrm e^{0{,}04t},$$ où $t$ est exprimé en années.

Étape 1 – valeur initiale. $$C(0)=1200\mathrm e^0=\boxed{1200\text{ euros}}.$$

Étape 2 – valeur après cinq ans. $$\begin{aligned} C(5)&=1200\mathrm e^{0{,}04\times5}\\ &=1200\mathrm e^{0{,}2}\\ &\approx1200\times1{,}2214\\ &\approx\boxed{1465{,}7\text{ euros}}. \end{aligned}$$

Étape 3 – sens de variation. On dérive : $$C'(t)=0{,}04\times1200\mathrm e^{0{,}04t}.$$ Tous les facteurs sont positifs, donc $C'(t)>0$. Le capital est croissant.

Étape 4 – chercher un seuil. Pour savoir quand le capital atteint $1500$ euros, on écrit $$1200\mathrm e^{0{,}04t}=1500 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm e^{0{,}04t}=1{,}25.$$ Avec le logarithme népérien, $$0{,}04t=\ln(1{,}25), \qquad t=\frac{\ln(1{,}25)}{0{,}04}\approx5{,}6.$$ Le seuil est donc atteint après environ $5{,}6$ années. Cette dernière étape sera reprise et justifiée dans le chapitre sur le logarithme.

L’équation différentielle $y'=ay$

Pour un réel $a$, les fonctions $$y(t)=K\mathrm e^{at}, \qquad K\in\mathbb{R},$$ vérifient $$y'(t)=aK\mathrm e^{at}=ay(t).$$ Dans le cadre du programme, on utilise le résultat suivant : les solutions de $y'=ay$ sont exactement les fonctions de cette forme. La condition initiale $y(0)=y_0$ donne $$y_0=K\mathrm e^0=K,$$ donc la solution correspondant à cette condition est $$\boxed{y(t)=y_0\mathrm e^{at}}.$$

Exemple entièrement détaillé

La quantité d’une substance est initialement de $500$ milligrammes et diminue selon l’équation $y'=-0{,}12y$, où $t$ est exprimé en jours.

La condition initiale donne $y_0=500$, et $a=-0{,}12$. Ainsi $$y(t)=500\mathrm e^{-0{,}12t}.$$ Après dix jours, $$\begin{aligned} y(10)&=500\mathrm e^{-1{,}2}\\ &\approx\boxed{150{,}6\text{ milligrammes}}. \end{aligned}$$ Le signe négatif dans l’exposant traduit la décroissance.

À retenirUn modèle continu de croissance ou de décroissance s’écrit $Q(t)=Q_0\mathrm e^{kt}$. Le signe de $k$ indique le sens de variation et $Q'(t)=kQ(t)$. Pour $y'=ay$ et $y(0)=y_0$, la solution est $y(t)=y_0\mathrm e^{at}$.

Fiche 08 / 09

Exercices gradués

Les exercices suivants sont des créations pédagogiques. Pour chacun, cherche une première démarche avant de lire l’indice. Les corrections détaillées et les réponses au rappel différé sont dans le fascicule séparé corrections.pdf.

Fiche 09 / 09

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Bilan à relire avant un exercice

1. Définition : $\exp$ est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. On écrit $\exp(x)=\mathrm e^x$.

2. Valeurs et signe : $\mathrm e^0=1$, $\mathrm e^1=\mathrm e$, et $\mathrm e^x>0$ pour tout réel $x$.

3. Calcul algébrique : $\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x\mathrm e^y$, $\mathrm e^{-x}=1/\mathrm e^x$, $\mathrm e^{x-y}=\mathrm e^x/\mathrm e^y$.

4. Dérivée : $\left(\mathrm e^{u(x)}\right)'=u'(x)\mathrm e^{u(x)}$.

5. Variations : l’exponentielle est strictement croissante ; elle conserve donc l’ordre et est injective.

6. Limites : $\mathrm e^x\to0$ quand $x\to-\infty$, $\mathrm e^x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$, et $x^n/\mathrm e^x\to0$ à $+\infty$ pour $n\geq1$.

7. Modèle : $Q(t)=Q_0\mathrm e^{kt}$, avec le signe de $k$ et les unités interprétés dans le contexte.

Erreurs fréquentes à analyser

• Écrire $\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x+\mathrm e^y$ : la formule correcte concerne un produit.

• Écrire $\mathrm e^{-x}=-\mathrm e^x$ : un exposant négatif donne un inverse, $\mathrm e^{-x}=1/\mathrm e^x$.

• Oublier que $\mathrm e^x$ est toujours strictement positif.

• Écrire $\left(\mathrm e^{u(x)}\right)'=\mathrm e^{u(x)}$ sans le facteur $u'(x)$.

• Résoudre $\mathrm e^u=\mathrm e^v$ en soustrayant les exponentielles au lieu de comparer les exposants.

• Diviser une inégalité par un nombre négatif sans inverser le sens.

• Confondre une hausse discrète de $5\,\%$, modélisée par un facteur $1{,}05$ par période, avec un modèle continu $\mathrm e^{0{,}05t}$.

• Oublier l’unité du temps dans le coefficient $k$ d’un modèle.

Auto-évaluation

Cocher une case après le travail, puis reprendre une seule compétence à la fois :

Rappel différé

À refaire deux ou trois jours plus tard, sans rouvrir le cours dans un premier temps. Les corrections sont dans le fascicule séparé.

1. Simplifier $\mathrm e^3\mathrm e^{-5}$, puis donner le signe du résultat.

2. Pour $f(x)=\mathrm e^{4x+1}$, calculer $f'(x)$.

3. Résoudre $\mathrm e^{x-2}=\mathrm e^3$.

4. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+1}{\mathrm e^x}$ et expliquer en une phrase la méthode.

5. Un modèle est $M(t)=40\mathrm e^{-0{,}1t}$. Dire ce que signifie le signe de $-0{,}1$ et calculer $M(0)$.

Si une question reste difficile. Revenir à la phrase qui décrit la situation : « je regroupe des exponentielles », « je dérive une composée », « je compare des exposants », « je cherche le signe d’un produit » ou « je traduis une évolution par $Q_0\mathrm e^{kt}$ ». Cette reformulation indique souvent la prochaine étape utile.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.