Corrections expliquées.
Fonction logarithme népérien.

Correction D1

Par définition de l’exponentielle, $$\mathrm e^0=1, \qquad \mathrm e^1=\mathrm e.$$ L’équation $\mathrm e^x=5$ demande de retrouver l’exposant qui donne $5$. Avec le logarithme népérien, sa solution s’écrit $$\boxed{x=\ln(5)}.$$

Correction D2

On isole $x$ en ajoutant $3$ aux deux membres, puis en divisant par $2$ : $$\begin{aligned} 2x-3&=7,\\ 2x&=10,\\ x&=\boxed{5}. \end{aligned}$$

Correction D3

La racine carrée impose $x+1\geq0$, donc $x\geq-1$. Le dénominateur impose $x-2\neq0$, donc $x\neq2$. Ainsi $$\boxed{\mathcal{D}_g=[-1,+\infty[\,\setminus\{2\}.}$$ Il faut vérifier les deux conditions simultanément.

Correction D4

On remplace $x$ par $2$ : $$f(2)=2^2-3\times2+1=4-6+1=\boxed{-1}.$$ La dérivée d’un polynôme se calcule terme à terme : $$\boxed{f'(x)=2x-3}.$$

Correction D5

Le signe de $x-4$ dépend de la position de $x$ par rapport à $4$ : $$\begin{array}{c|ccc} x&x<4&x=4&x>4\\ \hline x-4&-&0&+ \end{array}$$

Correction D6

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Lorsque $x\to+\infty$, ses valeurs deviennent aussi grandes que l’on veut : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty.}$$

Correction D7

Une fonction strictement croissante conserve strictement l’ordre. Donc, si $a<b$, alors $$\boxed{f(a)<f(b)}.$$

Correction D8

Une limite en $0^+$ décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche de zéro en restant positif. Elle ne demande pas que $f(0)$ existe. La valeur $f(0)$, lorsqu’elle existe, est une information sur le point exact $0$. Ces deux notions peuvent donc être différentes.

Correction 1 — Domaine et premières valeurs

b) On utilise les égalités d’inversion : $$\boxed{\ln(1)=0}, \qquad \boxed{\ln(\mathrm e^4)=4}, \qquad \boxed{\mathrm e^{\ln(9)}=9}.$$

c) On a $0{,}4<2$, et les deux nombres sont positifs. Comme $\ln$ est strictement croissante, $$\boxed{\ln(0{,}4)<\ln(2)}.$$

Correction 2 — Équations réciproques

b) La condition de domaine est $4x-1>0$, soit $x>1/4$. Puis $$\begin{aligned} \ln(4x-1)=-2 &\Longleftrightarrow 4x-1=\mathrm e^{-2},\\ 4x&=1+\mathrm e^{-2},\\ x&=\boxed{\frac{1+\mathrm e^{-2}}{4}}. \end{aligned}$$ Comme $\mathrm e^{-2}\approx0{,}1353$, $x\approx0{,}28$, qui respecte bien $x>1/4$.

c) La fonction $\ln$ est injective sur son domaine : $$\ln(x)=\ln(7)\quad\Longleftrightarrow\quad x=7.$$ La solution est donc $\boxed{x=7}$.

Correction 3 — Transformer une expression

On utilise les formules seulement lorsque les arguments sont positifs.

a) $$\begin{aligned} A&=\ln(12x^3)\\ &=\ln(12)+\ln(x^3)\\ &=\boxed{\ln(12)+3\ln(x)}. \end{aligned}$$

b) $$\begin{aligned} B&=\ln\!\left(\frac{x^2}{5y}\right)\\ &=\ln(x^2)-\ln(5y)\\ &=2\ln(x)-\ln(5)-\ln(y). \end{aligned}$$ Ainsi $$\boxed{B=2\ln(x)-\ln(5)-\ln(y)}.$$

c) Les coefficients deviennent des exposants et la différence devient un quotient : $$\begin{aligned} C&=2\ln(x)-\ln(y)+\ln(5)\\ &=\ln(x^2)-\ln(y)+\ln(5)\\ &=\boxed{\ln\!\left(\frac{5x^2}{y}\right)}. \end{aligned}$$

Correction 4 — Équation avec un domaine

On résout $$\ln(x-2)+\ln(x+1)=\ln(4).$$

Étape 1 – domaine. Il faut $x-2>0$ et $x+1>0$. La condition commune est donc $$x>2.$$

Étape 2 – regrouper. Sur ce domaine, $$\ln\bigl((x-2)(x+1)\bigr)=\ln(4).$$ Comme $\ln$ est injective, $$(x-2)(x+1)=4.$$

Étape 3 – résoudre. $$\begin{aligned} x^2-x-2&=4,\\ x^2-x-6&=0,\\ (x-3)(x+2)&=0. \end{aligned}$$ Les racines sont $3$ et $-2$. Le domaine $x>2$ élimine $-2$.

Étape 4 – conclusion. La valeur $3$ vérifie bien le domaine et donne $\ln(1)+\ln(4)=\ln(4)$. Ainsi $$\boxed{\mathcal S=\{3\}.}$$

Correction 5 — Dériver une fonction logarithmique

b) Le domaine impose $5-2x>0$, donc $x<5/2$. Avec $u(x)=5-2x$ et $u'(x)=-2$, $$\boxed{g'(x)=-\frac{2}{5-2x}} \qquad\text{sur }]-\infty,5/2[.$$

c) Le domaine de $h$ est $]0,+\infty[$. Il s’agit d’un produit : $$\begin{aligned} h'(x)&=1\times\ln(x)+x\times\frac1x\\ &=\boxed{\ln(x)+1}. \end{aligned}$$

Correction 6 — Limites et croissance comparée

b) On sépare les termes en divisant par $x$ : $$\frac{7\ln(x)+1}{x}=7\frac{\ln(x)}{x}+\frac1x.$$ Les deux termes tendent vers zéro à $+\infty$, donc $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{7\ln(x)+1}{x}=0}.$$

c) La racine est une puissance : $\sqrt{x}=x^{1/2}$. On peut poser $t=\sqrt{x}$, alors $t\to+\infty$, $x=t^2$, et $$\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=\frac{\ln(t^2)}{t}=\frac{2\ln(t)}{t}.$$ Le logarithme est dominé par la puissance $t$, donc cette expression tend vers zéro : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0}.$$

Correction 7 — Inéquation et intervalle de solutions

b) Les arguments imposent $x-1>0$ et $2x+5>0$, soit $x>1$. Sur ce domaine, $$\begin{aligned} \ln(x-1)\leq\ln(2x+5) &\Longleftrightarrow x-1\leq2x+5\\ &\Longleftrightarrow -6\leq x. \end{aligned}$$ La condition $x>1$ est plus restrictive que $x\geq-6$. Ainsi $$\boxed{\mathcal S=]1,+\infty[.}$$

Correction ?

8 – Étude de la fonction $x\ln(x)$ a) Le logarithme impose $x>0$, donc $\mathcal{D}_f=]0,+\infty[$. La dérivée d’un produit donne $$f'(x)=\ln(x)+x\times\frac1x=\boxed{\ln(x)+1}.$$

b) Cherchons le zéro de la dérivée : $$\begin{aligned} \ln(x)+1=0 &\Longleftrightarrow \ln(x)=-1\\ &\Longleftrightarrow x=\mathrm e^{-1}. \end{aligned}$$ Comme $\ln$ est croissante, $f'(x)<0$ pour $0<x<\mathrm e^{-1}$, puis $f'(x)>0$ pour $x>\mathrm e^{-1}$. La fonction décroît puis croît.

c) En $0^+$, la croissance comparée donne $$\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0.$$ À l’infini, $x\ln(x)\to+\infty$, car les deux facteurs sont alors positifs et deviennent grands. Enfin, $$f(\mathrm e^{-1})=\mathrm e^{-1}\ln(\mathrm e^{-1}) =\mathrm e^{-1}(-1)=-\frac1{\mathrm e}.$$ Le minimum est donc $$\boxed{-\frac1{\mathrm e}}, \quad\text{atteint pour }\boxed{x=\mathrm e^{-1}}.$$

Correction 9 — Problème : une évolution exponentielle

b) On cherche $t$ tel que $V(t)=30$ : $$\begin{aligned} 18\mathrm e^{0{,}06t}&=30,\\ \mathrm e^{0{,}06t}&=\frac{30}{18}=\frac53,\\ 0{,}06t&=\ln\!\left(\frac53\right),\\ t&=\frac{\ln(5/3)}{0{,}06}. \end{aligned}$$ Avec $\ln(5/3)\approx0{,}5108$, $$t\approx\frac{0{,}5108}{0{,}06}\approx8{,}5.$$ Le seuil est atteint après environ $\boxed{8{,}5\text{ mois}}$.

c) Le dépassement de 40 correspond à $$\begin{aligned} 18\mathrm e^{0{,}06t}>40 &\Longleftrightarrow \mathrm e^{0{,}06t}>\frac{20}{9}\\ &\Longleftrightarrow 0{,}06t>\ln\!\left(\frac{20}{9}\right)\\ &\Longleftrightarrow t>\frac{\ln(20/9)}{0{,}06}. \end{aligned}$$ Or $\ln(20/9)\approx0{,}7985$, donc le dépassement commence vers $13{,}3$ mois. Il n’a donc pas lieu avant 12 mois. On peut aussi contrôler que $V(12)=18\mathrm e^{0{,}72}\approx37{,}0<40$. $$\boxed{\text{Non, le modèle ne prévoit pas ce dépassement avant 12 mois.}}$$

Correction 10 — Synthèse : une fonction et une inéquation

b) Lorsque $x\to0^+$, $-\ln(x)\to+\infty$, donc $g(x)=x-1-\ln(x)\to+\infty$. Lorsque $x\to+\infty$, le terme $x$ domine $\ln(x)$, donc $g(x)\to+\infty$. Comme $g$ décroît puis croît, son minimum est atteint en $1$. Or $$g(1)=1-1-\ln(1)=0.$$

c) Le minimum de $g$ vaut zéro. Ainsi $$\boxed{g(x)\geq0\text{ pour tout }x>0,}$$ avec égalité seulement pour $\boxed{x=1}$.

d) Sur $]0,+\infty[$, $$\ln(x)\leq x-1 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1-\ln(x)\geq0 \quad\Longleftrightarrow\quad g(x)\geq0.$$ La question c) donne donc directement $$\boxed{\mathcal S=]0,+\infty[.}$$ L’égalité se produit seulement pour $x=1$.

Correction R1

Les égalités d’inversion donnent $$\boxed{\ln(1)=0}, \qquad \boxed{\ln(\mathrm e^2)=2}, \qquad \boxed{\mathrm e^{\ln(0{,}5)}=0{,}5}.$$ Le dernier résultat est valable parce que $0{,}5>0$.

Correction R2

Le domaine impose $$5x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac15.$$ Puis $$\begin{aligned} \ln(5x-1)=0 &\Longleftrightarrow 5x-1=\mathrm e^0=1\\ &\Longleftrightarrow 5x=2\\ &\Longleftrightarrow \boxed{x=\frac25}. \end{aligned}$$ Cette valeur respecte bien $x>1/5$.

Correction R3

Comme $x^2\geq0$, on a $x^2+4\geq4>0$ pour tout réel $x$. Ainsi $$\boxed{\mathcal{D}_f=\mathbb{R}}.$$ Avec $u(x)=x^2+4$ et $u'(x)=2x$, $$\boxed{f'(x)=\frac{2x}{x^2+4}}.$$

Correction R4

La croissance comparée indique que le logarithme est dominé par toute puissance positive à l’infini : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^3}=0}.$$ La limite demandée en zéro est l’une des limites fondamentales du chapitre : $$\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0}.$$