Fonction logarithme népérien.
Retrouver un exposant

Fiche 01 / 08

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Calculer $\mathrm e^0$, $\mathrm e^1$ et rappeler ce que signifie $\mathrm e^x=5$.

2. Résoudre $2x-3=7$, puis écrire la solution sous forme d’une étape par ligne.

3. Déterminer l’ensemble de définition de $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.

4. Pour $f(x)=x^2-3x+1$, calculer $f(2)$ et $f'(x)$.

5. Donner le signe de $x-4$ lorsque $x<4$, lorsque $x=4$, puis lorsque $x>4$.

6. Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle et sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

7. Compléter mentalement : si $a<b$ et si une fonction est strictement croissante, alors ses images sont reliées par quelle inégalité ?

8. Expliquer la différence entre une limite en $0^+$ et la valeur d’une fonction en $0$.

Corrections du diagnostic →

Les prérequis indispensables

Nombres positifs. Le logarithme népérien ne s’applique qu’à un nombre strictement positif. Ainsi $\ln(4)$ existe, mais $\ln(0)$ et $\ln(-3)$ n’existent pas dans le cadre des nombres réels. Pour une expression comme $\ln(2x-1)$, il faudra donc écrire $$2x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac12.$$

Exponentielle. La fonction exponentielle, notée $x\mapsto\mathrm e^x$, est définie sur $\mathbb{R}$, strictement croissante et à valeurs strictement positives. Elle vérifie $$\mathrm e^0=1, \qquad \mathrm e^{a+b}=\mathrm e^a\mathrm e^b, \qquad \lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0.$$ Le nombre $\mathrm e$ vaut environ $2{,}718$. Il ne faut pas le confondre avec une variable nommée $e$.

Fonctions et réciproques. Si une fonction associe à un nombre $x$ un nombre $y$, sa réciproque permet de repartir de $y$ pour retrouver $x$, lorsque cette opération est possible de manière unique. Ici, l’exponentielle envoie $\mathbb{R}$ sur $]0,+\infty[$, et le logarithme fera le chemin inverse.

Dérivation et limites. Il faut savoir lire un signe de dérivée, résoudre une inéquation simple et reconnaître les limites usuelles. Une expression comme $\dfrac{1}{x}$ est positive sur $]0,+\infty[$, ce qui sera essentiel pour comprendre les variations de $\ln$.

À retenirAvant de calculer un logarithme, vérifier que son argument est strictement positif. Avant d’utiliser une propriété, identifier la fonction concernée et le domaine où la formule a un sens.

Fiche 02 / 08

1. Le logarithme comme inverse de l’exponentielle

L’idée essentielle : retrouver un exposant

Supposons que l’on cherche le nombre $x$ tel que $$\mathrm e^x=7.$$ La calculatrice donne une valeur approchée de cet exposant, mais il est utile de disposer d’une notation exacte. Le nombre recherché est appelé le logarithme népérien de 7 et se note $\ln(7)$ : $$\mathrm e^{\ln(7)}=7.$$ Le logarithme répond donc à la question : « quel exposant faut-il donner à $\mathrm e$ pour obtenir ce nombre positif ? »

Définition et domaine

La fonction exponentielle est strictement croissante et prend exactement une fois chaque valeur strictement positive. Pour tout réel $x$ strictement positif, il existe donc un unique réel $y$ tel que $\mathrm e^y=x$.

Définition. La fonction qui, à tout réel $x>0$, associe l’unique réel $y$ vérifiant $\mathrm e^y=x$, s’appelle la fonction logarithme népérien et se note $\ln$. Son domaine est $$\boxed{\mathcal{D}_{\ln}=]0,+\infty[.}$$

La définition peut se lire dans les deux sens : $$\boxed{\ln(a)=b\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm e^b=a} \qquad\text{pour }a>0\text{ et }b\in\mathbb{R}.$$

Les deux égalités d’inversion

Les deux fonctions se défont l’une l’autre : $$\begin{aligned} \ln(\mathrm e^x)&=x &&\text{pour tout }x\in\mathbb{R},\\ \mathrm e^{\ln(x)}&=x &&\text{pour tout }x>0. \end{aligned}$$

Les conditions de la deuxième ligne sont importantes : $\ln(x)$ n’existe que si $x>0$. On en déduit notamment $$\ln(1)=0, \qquad \ln(\mathrm e)=1, \qquad \ln(\mathrm e^2)=2, \qquad \ln\!\left(\frac1{\mathrm e}\right)=-1.$$

Exemple entièrement détaillé

Calculons $\ln(\mathrm e^{-3})$ puis $\mathrm e^{\ln(12)}$.

Étape 1 – première expression. L’exposant est déjà visible : $$\ln(\mathrm e^{-3})=-3.$$

Étape 2 – seconde expression. L’argument $12$ est strictement positif, donc la deuxième égalité d’inversion s’applique : $$\mathrm e^{\ln(12)}=12.$$

Conclusion. Le logarithme ne transforme pas un nombre positif en un nombre forcément positif : par exemple, $0<0{,}5<1$ donne un logarithme négatif. Il mesure un exposant, et cet exposant peut avoir n’importe quel signe.

Résoudre une équation grâce à la définition

Pour résoudre une équation de la forme $$\mathrm e^{u(x)}=a,$$ il faut d’abord vérifier que $a>0$, puis utiliser l’équivalence $$\mathrm e^{u(x)}=a \quad\Longleftrightarrow\quad u(x)=\ln(a).$$

Exemple entièrement détaillé

Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équation $$\mathrm e^{2x-1}=7.$$

Étape 1 – reconnaître la forme. Le membre de gauche est une exponentielle et $7>0$, donc l’équivalence avec le logarithme est valable : $$\mathrm e^{2x-1}=7 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-1=\ln(7).$$

Étape 2 – isoler $x$. On ajoute $1$ aux deux membres, puis on divise par $2$ : $$\begin{aligned} 2x-1&=\ln(7),\\ 2x&=1+\ln(7),\\ x&=\frac{1+\ln(7)}{2}. \end{aligned}$$

Étape 3 – valeur approchée et contrôle. Comme $\ln(7)\approx1{,}946$, $$x\approx\frac{1+1{,}946}{2}\approx1{,}473.$$ En remplaçant cette valeur dans l’exposant, on obtient bien $2x-1\approx1{,}946=\ln(7)$, donc $\mathrm e^{2x-1}\approx7$. $$\boxed{x=\dfrac{1+\ln(7)}{2}\approx1{,}473.}$$

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $$\ln(3x-2)=4.$$

Étape 1 – domaine. Il faut que l’argument du logarithme soit strictement positif : $$3x-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac23.$$

Étape 2 – appliquer l’exponentielle. La définition donne $$\ln(3x-2)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x-2=\mathrm e^4.$$

Étape 3 – isoler $x$ et contrôler le domaine. $$\begin{aligned} 3x&=2+\mathrm e^4,\\ x&=\frac{2+\mathrm e^4}{3}. \end{aligned}$$ Cette valeur est bien supérieure à $2/3$, donc elle appartient au domaine. $$\boxed{x=\dfrac{2+\mathrm e^4}{3}.}$$

À retenirPour $a>0$, $\mathrm e^{u}=a\Longleftrightarrow u=\ln(a)$ et $\ln(a)=u\Longleftrightarrow a=\mathrm e^u$. Toujours vérifier la positivité de l’argument placé dans $\ln$.

Fiche 03 / 08

2. Les propriétés algébriques du logarithme

Pourquoi le produit devient une somme

Soient $a>0$ et $b>0$. Écrivons $a=\mathrm e^{\ln(a)}$ et $b=\mathrm e^{\ln(b)}$. Alors $$\begin{aligned} ab &=\mathrm e^{\ln(a)}\mathrm e^{\ln(b)}\\ &=\mathrm e^{\ln(a)+\ln(b)}. \end{aligned}$$ En appliquant le logarithme aux deux membres, on obtient $$\boxed{\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}.$$ Cette formule explique l’intérêt historique des logarithmes : un calcul de produit peut être transformé en addition.

Formules à connaître

Pour tous réels $a>0$, $b>0$ et tout entier naturel $n$, $$\begin{aligned} \ln(ab)&=\ln(a)+\ln(b), \label{eq:produit}\\ \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)&=\ln(a)-\ln(b), \label{eq:quotient}\\ \ln(a^n)&=n\ln(a). \label{eq:puissance} \end{aligned}$$

Les deux premières formules donnent aussi $$\ln\!\left(\frac1a\right)=-\ln(a), \qquad \ln(\sqrt a)=\frac12\ln(a)\quad(a>0).$$ La formule de la racine vient de $(\sqrt a)^2=a$. Elle n’est pas une nouvelle règle à apprendre séparément.

Attention aux faux automatismes. En général, $$\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b).$$ Les règles concernent un produit, un quotient ou une puissance, pas une somme. Par exemple, $\ln(2+3)=\ln(5)$, tandis que $\ln(2)+\ln(3)=\ln(6)$ : ces nombres ne sont pas égaux.

Exemple entièrement détaillé

Simplifions, en supposant $x>0$ et $y>0$, $$A=\ln(4x^2)-\ln\!\left(\frac{y}{3}\right).$$

Étape 1 – traiter le produit et la puissance. $$\begin{aligned} \ln(4x^2)&=\ln(4)+\ln(x^2)\\ &=\ln(4)+2\ln(x). \end{aligned}$$

Étape 2 – traiter le quotient. $$\ln\!\left(\frac{y}{3}\right)=\ln(y)-\ln(3).$$

Étape 3 – remplacer puis réduire. $$\begin{aligned} A&=\ln(4)+2\ln(x)-\bigl(\ln(y)-\ln(3)\bigr)\\ &=\ln(4)+\ln(3)+2\ln(x)-\ln(y)\\ &=\ln(12)+2\ln(x)-\ln(y). \end{aligned}$$ On peut aussi regrouper en un seul logarithme : $$A=\ln\!\left(\frac{12x^2}{y}\right).$$ Les deux écritures sont correctes ; la première est souvent plus pratique pour lire les termes séparément.

Résoudre une équation logarithmique

Une équation contenant plusieurs logarithmes se traite en quatre temps :

1. déterminer le domaine, donc les conditions de positivité ;

2. regrouper les logarithmes avec les formules adaptées ;

3. supprimer le logarithme en utilisant l’inversion avec l’exponentielle ;

4. garder seulement les solutions du domaine et rédiger une vérification.

Exemple entièrement détaillé

Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équation $$\ln(x-1)+\ln(x+3)=\ln(5).$$

Étape 1 – domaine. Les deux arguments doivent être positifs : $$x-1>0\quad\text{et}\quad x+3>0.$$ La condition la plus restrictive est $x>1$.

Étape 2 – regrouper le membre de gauche. Sur ce domaine, $$\ln(x-1)+\ln(x+3)=\ln\bigl((x-1)(x+3)\bigr).$$ L’équation devient donc $$\ln\bigl((x-1)(x+3)\bigr)=\ln(5).$$

Étape 3 – utiliser l’injectivité de $\ln$. La fonction logarithme est strictement croissante, donc deux images sont égales exactement lorsque les nombres de départ sont égaux : $$(x-1)(x+3)=5.$$

Étape 4 – résoudre l’équation obtenue. $$\begin{aligned} x^2+2x-3&=5,\\ x^2+2x-8&=0,\\ (x-2)(x+4)&=0. \end{aligned}$$ Ainsi $x=2$ ou $x=-4$. Mais le domaine impose $x>1$. Il reste seulement $x=2$, qui vérifie bien $\ln(1)+\ln(5)=\ln(5)$. $$\boxed{\mathcal S=\{2\}.}$$

À retenirLes règles de calcul portent sur les produits, les quotients et les puissances. Pour une équation logarithmique, le domaine se cherche avant les transformations : une solution trouvée hors du domaine doit être rejetée.

Fiche 04 / 08

3. Dérivée, variations et tangente

Calcul de la dérivée

Le programme admet que la fonction logarithme est dérivable sur $]0,+\infty[$. On peut alors calculer sa dérivée à partir de la relation $$\mathrm e^{\ln(x)}=x\qquad(x>0).$$ En dérivant les deux membres, la dérivée du membre de gauche est obtenue par composition : $$\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\mathrm e^{\ln(x)}\right) &=\mathrm e^{\ln(x)}\times(\ln)'(x),\\ 1&=x\times(\ln)'(x). \end{aligned}$$ Comme $x>0$, on peut diviser par $x$ : $$\boxed{(\ln)'(x)=\frac1x\quad\text{pour }x>0.}$$

Plus généralement, si $u$ est dérivable et strictement positive, $$\boxed{\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}.}$$ Il s’agit de la dérivée d’une composée : on dérive l’expression intérieure, puis on divise par cette expression intérieure.

Exemple entièrement détaillé

Calculons la dérivée de $$f(x)=\ln(3x+2).$$

Étape 1 – domaine. Il faut $3x+2>0$, donc $x>-2/3$.

Étape 2 – identifier l’intérieur. On pose $u(x)=3x+2$, d’où $u'(x)=3$.

Étape 3 – appliquer la formule. Sur le domaine, $$f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\boxed{\frac{3}{3x+2}}.$$ Le dénominateur est positif sur le domaine, donc $f'(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]-2/3,+\infty[$.

Variations de la fonction logarithme

Sur son domaine, $x>0$, donc $$(\ln)'(x)=\frac1x>0.$$ La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur $]0,+\infty[$. Cela signifie que, pour $0<a<b$, $$\ln(a)<\ln(b).$$ Cette propriété permet notamment de comparer des logarithmes sans calculatrice.

Tangente en un point

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$ Pour $f(x)=\ln(x)$, avec $a>0$, on obtient $$\boxed{y=\ln(a)+\frac1a(x-a).}$$ En particulier, comme $\ln(1)=0$, la tangente en $1$ est $$y=x-1.$$

Cette droite donne une approximation locale : si $x$ est proche de $a$, alors $$\ln(x)\approx \ln(a)+\frac{x-a}{a}.$$ Le symbole $\approx$ signale une valeur approchée, pas une égalité exacte.

Une étude de fonction avec un logarithme

Pour étudier une fonction contenant $\ln$, on suit la méthode habituelle :

1. trouver le domaine ;

2. calculer la dérivée ;

3. étudier le signe de la dérivée ;

4. construire le tableau de variations ;

5. utiliser les limites et calculer les valeurs utiles.

Exemple entièrement détaillé

Étudions les variations de $$f(x)=x-\ln(x).$$

Étape 1 – domaine. Le logarithme impose $x>0$, donc $\mathcal{D}_f=]0,+\infty[$.

Étape 2 – dérivée. $$f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$

Étape 3 – signe. Sur le domaine, $x>0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x-1$ : $$\begin{array}{c|ccccc} x&0&&1&&+\infty\\ \hline x-1& &-&0&+&\\ x& &+&&+&\\ \hline f'(x)& &-&0&+& \end{array}$$

Étape 4 – variations et valeur au point critique. La fonction décroît sur $]0,1[$, puis croît sur $]1,+\infty[$. Comme $f(1)=1-\ln(1)=1$, elle atteint son minimum en $1$, égal à $1$. $$\boxed{f(x)\geq1\quad\text{pour tout }x>0,}$$ avec égalité seulement pour $x=1$. Les limites qui complètent le tableau seront justifiées dans la section suivante : $f(x)\to+\infty$ aux deux extrémités du domaine.

À retenirSur $]0,+\infty[$, $(\ln)'(x)=1/x>0$, donc $\ln$ est strictement croissante. Pour $\ln(u(x))$, la dérivée est $u'(x)/u(x)$, avec la condition $u(x)>0$.

Fiche 05 / 08

4. Limites et croissance comparée

Les limites de $\ln$

La fonction exponentielle et le logarithme sont réciproques. Le comportement de l’une se lit donc à l’envers pour l’autre : $$\begin{aligned} \lim_{x\to0^+}\ln(x)&=-\infty,\\ \lim_{x\to+\infty}\ln(x)&=+\infty. \end{aligned}$$

La notation $x\to0^+$ signifie que $x$ se rapproche de zéro en restant strictement positif : $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$, etc. On ne calcule pas $\ln(0)$ : cette valeur n’existe pas.

Ces limites, la dérivée positive et la relation $\ln(1)=0$ donnent une image complète de la courbe : elle est définie seulement à droite de l’axe des ordonnées, elle descend vers $-\infty$ près de $0$, passe par $(1;0)$, puis monte lentement vers $+\infty$. L’axe $x=0$ est une asymptote verticale.

La limite de $x\ln(x)$ en $0^+$

Le facteur $x$ tend vers zéro tandis que $\ln(x)$ tend vers $-\infty$. On ne peut donc pas conclure en multipliant simplement les deux limites : c’est une forme indéterminée $0\times(-\infty)$.

Posons $$t=-\ln(x).$$ Lorsque $x\to0^+$, on a $t\to+\infty$, et l’égalité $x=\mathrm e^{-t}$ donne $$\begin{aligned} x\ln(x)&=\mathrm e^{-t}(-t)\\ &=-\frac{t}{\mathrm e^t}. \end{aligned}$$ L’exponentielle croît plus vite que la fonction affine $t\mapsto t$, donc $t/\mathrm e^t\to0$. Ainsi $$\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0.}$$ La limite est atteinte par valeurs négatives, car $x>0$ et $\ln(x)<0$ près de zéro.

Croissance comparée avec une puissance

Pour tout entier $n\geq1$, le logarithme croît moins vite que la puissance $x^n$ lorsque $x$ devient très grand : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0.}$$ Pour le voir, on pose $t=\ln(x)$, donc $x=\mathrm e^t$ et $t\to+\infty$ : $$\frac{\ln(x)}{x^n}=\frac{t}{\mathrm e^{nt}}\longrightarrow0.$$

En remplaçant $x$ par $1/x$, on obtient aussi, pour tout $n\geq1$, $$\boxed{\lim_{x\to0^+}x^n\ln(x)=0.}$$ En effet, avec $u=1/x$, $$x^n\ln(x)=-\frac{\ln(u)}{u^n},$$ et le quotient tend vers zéro lorsque $u\to+\infty$.

Interprétation. À l’infini, $\ln(x)$ devient aussi grand que l’on veut, mais il le fait plus lentement que $x$, $x^2$, $x^3$, etc. Près de zéro, le produit d’une puissance positive par $\ln(x)$ tend vers zéro, malgré la limite $-\infty$ du logarithme seul.

Exemple entièrement détaillé

Calculons les limites $$\lim_{x\to+\infty}\frac{5\ln(x)-2}{x^2+1} \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}x^2\ln(x).$$

Première limite – identifier les termes dominants. On divise le numérateur et le dénominateur par $x^2$ : $$\begin{aligned} \frac{5\ln(x)-2}{x^2+1} &=\frac{\dfrac{5\ln(x)}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}} {1+\dfrac1{x^2}}. \end{aligned}$$ Lorsque $x\to+\infty$, $\ln(x)/x^2\to0$ par croissance comparée et $1/x^2\to0$. Le quotient tend donc vers $$\frac{0-0}{1+0}=0.$$

Seconde limite – appliquer la formule de croissance comparée. Ici $n=2$, donc directement $$\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0.$$ $$\boxed{\text{Les deux limites valent }0.}$$

À retenirLes deux limites fondamentales sont $\ln(x)\to-\infty$ quand $x\to0^+$ et $\ln(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$. Pourtant, $x^n\ln(x)\to0$ en $0^+$ et $\ln(x)/x^n\to0$ à l’infini pour tout entier $n\geq1$.

Fiche 06 / 08

5. Équations, inéquations et applications

Comparer et résoudre une inéquation

Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, elle conserve le sens des inégalités : $$0<a<b\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(a)<\ln(b).$$ De même, l’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $$a<b\quad\Longleftrightarrow\quad\mathrm e^a<\mathrm e^b.$$

Méthode

Pour résoudre une inéquation contenant $\ln(u(x))$ :

1. écrire le domaine $u(x)>0$ ;

2. utiliser la croissance de $\ln$ ou appliquer l’exponentielle ;

3. résoudre l’inéquation obtenue ;

4. intersecter avec le domaine.

Exemple entièrement détaillé

Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $$\ln(2x-1)\leq3.$$

Étape 1 – domaine. $$2x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac12.$$

Étape 2 – comparer les arguments. Comme $\ln$ est croissante et que $3=\ln(\mathrm e^3)$, $$\begin{aligned} \ln(2x-1)\leq3 &\Longleftrightarrow \ln(2x-1)\leq\ln(\mathrm e^3)\\ &\Longleftrightarrow 2x-1\leq\mathrm e^3. \end{aligned}$$

Étape 3 – isoler $x$. $$2x\leq1+\mathrm e^3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leq\frac{1+\mathrm e^3}{2}.$$

Étape 4 – croiser avec le domaine. $$\boxed{\mathcal S=\left]\frac12;\frac{1+\mathrm e^3}{2}\right].}$$ La borne $1/2$ est exclue, car $\ln(0)$ n’existe pas ; la borne de droite est incluse car l’inégalité est large.

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $$\ln(x+1)>\ln(3-x).$$

Étape 1 – domaine commun. $$x+1>0\quad\text{et}\quad3-x>0,$$ donc $-1<x<3$.

Étape 2 – utiliser la croissance stricte. Sur ce domaine, $$\ln(x+1)>\ln(3-x) \quad\Longleftrightarrow\quad x+1>3-x.$$

Étape 3 – résoudre puis croiser. $$2x>2\quad\Longleftrightarrow\quad x>1.$$ Avec $-1<x<3$, on obtient $$\boxed{\mathcal S=]1;3[.}$$

Modéliser une évolution

Un modèle de croissance ou de décroissance peut prendre la forme $$Q(t)=Q_0\mathrm e^{kt},$$ où $t$ est le temps, $Q_0>0$ la quantité initiale et $k$ un réel. Pour retrouver le temps correspondant à une quantité connue $Q>0$, on utilise le logarithme : $$\begin{aligned} Q&=Q_0\mathrm e^{kt},\\ \frac{Q}{Q_0}&=\mathrm e^{kt},\\ \ln\!\left(\frac{Q}{Q_0}\right)&=kt,\\ t&=\frac1k\ln\!\left(\frac{Q}{Q_0}\right)\quad(k\neq0). \end{aligned}$$ Les unités doivent être cohérentes : si $t$ est en années, $k$ est en $\text{année}^{-1}$, et $kt$ est sans unité.

Exemple entièrement détaillé

Une population est modélisée, en milliers d’individus, par $$P(t)=120\mathrm e^{0{,}08t},$$ où $t$ est exprimé en années depuis le début de l’étude. Au bout de combien de temps la population atteint-elle $200$ milliers d’individus ?

Étape 1 – traduire la question. On cherche $t$ tel que $$120\mathrm e^{0{,}08t}=200.$$

Étape 2 – isoler l’exponentielle. $$\mathrm e^{0{,}08t}=\frac{200}{120}=\frac53.$$

Étape 3 – appliquer le logarithme. $$0{,}08t=\ln\!\left(\frac53\right).$$

Étape 4 – isoler le temps. $$t=\frac{\ln(5/3)}{0{,}08}.$$

Étape 5 – calcul approché et interprétation. Comme $\ln(5/3)\approx0{,}511$, $$t\approx\frac{0{,}511}{0{,}08}\approx6{,}39.$$ La population atteint donc $200$ milliers d’individus environ $6{,}4$ ans après le début du modèle. $$\boxed{t\approx6{,}4\ \text{années}.}$$

Une décroissance et une inégalité

Dans un modèle $C(t)=C_0\mathrm e^{-kt}$, avec $C_0>0$ et $k>0$, la quantité diminue. Pour déterminer à partir de quand elle est inférieure à un seuil, il faut penser au sens de l’inégalité. Comme $-k<0$, une division par $-k$ inverse le sens.

Exemple entièrement détaillé

Une concentration est modélisée par $$C(t)=100\mathrm e^{-0{,}12t},$$ où $t$ est en heures. À partir de quelle durée la concentration est-elle inférieure ou égale à $20$ ?

Étape 1 – écrire l’inéquation. $$100\mathrm e^{-0{,}12t}\leq20.$$

Étape 2 – isoler l’exponentielle. $$\mathrm e^{-0{,}12t}\leq0{,}2.$$

Étape 3 – appliquer $\ln$. Les deux membres sont positifs et $\ln$ est croissante : $$-0{,}12t\leq\ln(0{,}2).$$

Étape 4 – diviser par un nombre négatif. $$t\geq\frac{\ln(0{,}2)}{-0{,}12} =\frac{-\ln(0{,}2)}{0{,}12}.$$ Comme $\ln(0{,}2)\approx-1{,}609$, $$t\geq\frac{1{,}609}{0{,}12}\approx13{,}4.$$ La concentration devient donc inférieure ou égale à $20$ à partir d’environ $13{,}4$ heures. $$\boxed{t\in[13{,}4;+infty[\ \text{environ}.}$$

À retenirDans une application, traduire d’abord le contexte en équation ou inéquation, puis isoler l’exponentielle avant d’appliquer $\ln$. Une division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité. Terminer par une phrase avec l’unité.

Fiche 07 / 08

Exercices gradués

Les exercices suivants sont des créations pédagogiques. Pour chacun, cherche une première démarche avant de lire l’indice. Les corrections détaillées et les réponses au rappel différé sont dans le fascicule séparé corrections.pdf.

Fiche 08 / 08

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Bilan à relire avant un exercice

1. Domaine : un logarithme $\ln(u)$ exige $u>0$.

2. Inversion : $\ln(a)=b\Longleftrightarrow a=\mathrm e^b$ pour $a>0$, et $\ln(\mathrm e^x)=x$.

3. Calcul algébrique : $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$, $\ln(a^n)=n\ln(a)$ pour $a>0$.

4. Variations : $(\ln)'(x)=1/x>0$, donc $\ln$ est strictement croissante.

5. Limites : $\ln(x)\to-\infty$ en $0^+$, $\ln(x)\to+\infty$ en $+\infty$, mais le logarithme est dominé par toute puissance positive à l’infini.

6. Rédaction : une valeur approchée doit être accompagnée de $\approx$, d’une unité si le contexte en comporte une et d’une phrase d’interprétation.

Erreurs fréquentes à analyser

• Écrire $\ln(0)=0$ : la fonction logarithme n’est pas définie en zéro.

• Écrire $\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)$ : la formule concerne un produit.

• Oublier le domaine avant de résoudre une équation ou une inéquation.

• Écrire $(\ln u)'=1/u$ sans dériver $u$ : il manque le facteur $u'$, donc la formule est $u'/u$.

• Diviser une inégalité par un nombre négatif sans inverser son sens.

• Confondre $\ln(\mathrm e^x)=x$, valable pour tout réel $x$, avec $\mathrm e^{\ln(x)}=x$, qui exige $x>0$.

Auto-évaluation

Cocher une case après le travail, puis reprendre une seule compétence à la fois :

Rappel différé

À refaire deux ou trois jours plus tard, sans rouvrir le cours dans un premier temps. Les corrections sont dans le fascicule séparé.

1. Sans calculatrice, donner $\ln(1)$, $\ln(\mathrm e^2)$ et $\mathrm e^{\ln(0{,}5)}$.

2. Résoudre $\ln(5x-1)=0$ et écrire la condition de domaine.

3. Pour $f(x)=\ln(x^2+4)$, donner le domaine et calculer $f'(x)$.

4. Expliquer en une phrase pourquoi $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^3}=0$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln(x)$.

Si une question reste difficile. Revenir à la ligne « domaine » avant de refaire le calcul. Puis écrire en mots la transformation souhaitée : « je cherche l’exposant », « je regroupe un produit », « je compare deux arguments positifs » ou « je cherche le signe de la dérivée ». Cette phrase indique souvent la prochaine étape utile.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.