Corrections expliquées.
Fonctions sinus et cosinus.

Correction D1 – Degrés et radians

Un tour complet vaut $360^\circ=2\pi$ radians. La moitié et le quart d’un tour donnent donc : $$180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2},\qquad 45^\circ=\frac{\pi}{4}.$$ Réciproquement, $$\frac{\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=60^\circ.$$

Correction D2 – Valeurs du cercle

On lit les quatre valeurs sur le cercle trigonométrique : $$\boxed{\cos(0)=1},\qquad \boxed{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1},\qquad \boxed{\cos(\pi)=-1}.$$ Enfin, le sinus est impair : $$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) =\boxed{-\frac12}.$$

Correction D3 – Quadrants et signes

Correction D4 – Parité et périodicité

La symétrie par rapport à l’axe horizontal et le tour complet donnent : $$\boxed{\sin(-x)=-\sin x},\qquad \boxed{\cos(-x)=\cos x},$$ $$\boxed{\sin(x+2\pi)=\sin x},\qquad \boxed{\cos(x+2\pi)=\cos x}.$$

Correction D5 – Dérivée simple

On dérive terme à terme : $$p'(x)=3\times2x-2=\boxed{6x-2}.$$ Le signe de $p'(x)$ indique le sens de variation : si la dérivée est positive, la fonction monte ; si elle est négative, la fonction descend.

Correction D6 – Équation et intervalle

Correction D7 – Lire une variation

Sur $[0,\pi]$, le cosinus est décroissant. Aux extrémités : $$\boxed{\cos(0)=1,\qquad \cos(\pi)=-1.}$$ La fonction passe donc de $1$ à $-1$ en diminuant.

Correction D8 – Réglage de la calculatrice

Il faut choisir le mode radians. Le nombre $1$ représente un angle de $1$ radian. En mode degrés, la calculatrice interpréterait $1$ comme $1^\circ$, ce qui correspond à un autre angle et donne une autre valeur.

Correction 1 — Radian et valeurs usuelles

b) Les valeurs usuelles et la parité donnent : $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{\frac12}, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\boxed{\frac12},$$ $$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\boxed{\frac{\sqrt2}{2}},$$ $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\boxed{\frac12}.$$

c) Les quatre résultats sont positifs. Pour le dernier, l’angle $5\pi/6$ est dans le deuxième quadrant : le sinus y est positif. Pour $-\pi/4$, le point est dans le quatrième quadrant, où le cosinus est positif.

Correction 2 — Se repérer sur le cercle

b) En remplaçant par les valeurs précédentes : $$\cos^2t+\sin^2t =\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 +\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac12+\frac12 =\boxed{1}.$$

c) Comme $$\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2},$$ l’angle est dans le troisième quadrant. Ainsi, $$\boxed{\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)<0,\qquad \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)<0.}$$

Correction 3 — Parité, périodicité et courbe

b) Pour le sinus : $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{5\pi}{6},$$ donc $$\boxed{\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) =\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12.}$$ Pour le cosinus : $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6},$$ donc $$\boxed{\cos\left(\frac{13\pi}{6}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.}$$

c) Les points à placer sont $$(-\pi;-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2};0\right),\quad (0;1),\quad \left(\frac{\pi}{2};0\right),\quad (\pi;-1).$$ La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car le cosinus est pair. Elle se répète ensuite tous les $2\pi$.

Correction 4 — Dériver et étudier les variations

b) Le signe de $-2\cos x$ est l’opposé de celui de $\cos x$, car $-2$ est négatif : $$\begin{array}{c|c|c} \text{Intervalle}&\text{signe de \(\cos x\)}&\text{signe de \(f'(x)\)}\\ \hline \left[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right]&-&+\\ \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]&+&-\\ \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]&-&+ \end{array}$$

c) On calcule les valeurs aux bornes des intervalles : $$\begin{aligned} f(-\pi)&=1-2\sin(-\pi)=1,\\ f\left(-\frac{\pi}{2}\right)&=1-2(-1)=3,\\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=1-2(1)=-1,\\ f(\pi)&=1-2\sin(\pi)=1. \end{aligned}$$ La fonction est donc croissante de $1$ à $3$, décroissante de $3$ à $-1$, puis croissante de $-1$ à $1$. Son maximum sur l’intervalle est $\boxed{3}$, atteint pour $x=-\pi/2$, et son minimum est $\boxed{-1}$, atteint pour $x=\pi/2$.

Correction 5 — Équations trigonométriques

b) Le sinus vaut $1/2$ aux angles $\pi/6$ et $5\pi/6$ sur une période. Ces deux angles appartiennent à $[-\pi,\pi]$, donc $$\boxed{x=\frac{\pi}{6}\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{6}.}$$

c) Pour tout réel $x$, $-1\leq\cos x\leq1$. La valeur $1{,}2$ est impossible : $$\boxed{\mathcal{S}=\varnothing.}$$

Correction 6 — Inéquations de cosinus

b) Cette fois, $$\alpha=\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$$ On conserve les parties où la courbe est sous la droite de niveau $y=-1/2$ : $$\boxed{\mathcal{S} =\left[-\pi,-\frac{2\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right].}$$

Correction 7 — Une fonction simple

b) Sur $[0,\pi/2]$, le cosinus décroît et le sinus croît. Ils sont égaux en $\pi/4$, où ils valent $\sqrt2/2$. Il s’ensuit : $$\cos x-\sin x>0\quad\text{sur }\left[0,\frac{\pi}{4}\right[,$$ $$\cos x-\sin x=0\quad\text{pour }x=\frac{\pi}{4},$$ $$\cos x-\sin x<0\quad\text{sur }\left]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right].$$

c) Les valeurs importantes sont $$g(0)=1,\qquad g\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2,\qquad g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$ La fonction est croissante puis décroissante. Son maximum est $$\boxed{\sqrt2\text{ atteint pour }x=\frac{\pi}{4}},$$ et son minimum vaut $\boxed{1}$, atteint aux deux extrémités.

Correction 8 — Rectangle dans un quart de cercle

b) Sur $[0,\pi/2]$, $$\begin{aligned} A'(x) &=36\bigl((\sin x)'\cos x+\sin x(\cos x)'\bigr)\\ &=36(\cos^2x-\sin^2x)\\ &=36(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x). \end{aligned}$$ Le facteur $36$ est positif. Le facteur $\cos x+\sin x$ est positif sur $[0,\pi/2]$. Le signe dépend donc de $\cos x-\sin x$ : $$\begin{array}{c|ccc} x&0&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}\\ \hline A'(x)&+&0&- \end{array}$$ L’aire augmente sur $[0,\pi/4]$, puis diminue sur $[\pi/4,\pi/2]$.

c) Le maximum est atteint pour $$\boxed{x=\frac{\pi}{4}}.$$ Les deux côtés ont alors la longueur $$6\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =6\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =\boxed{3\sqrt2\text{ cm}}.$$ L’aire maximale vaut $$A\left(\frac{\pi}{4}\right) =36\times\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt2}{2} =\boxed{18\text{ cm}^2}.$$

Correction 9 — Une grandeur périodique

b) Pour $t=3$, $$h(3)=12+4\cos\left(\frac{\pi}{6}\times3\right) =12+4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) =\boxed{12}.$$ Pour $t=6$, $$h(6)=12+4\cos(\pi) =12-4 =\boxed{8}.$$ Les deux résultats sont exprimés dans l’unité de la grandeur modélisée.

c) On résout : $$\begin{aligned} 12+4\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)&=14,\\ \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)&=\frac12. \end{aligned}$$ Lorsque $0\leq t\leq12$, l’angle $u=\frac{\pi}{6}t$ parcourt $[0,2\pi]$. Sur cet intervalle, $$u=\frac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad u=\frac{5\pi}{3}.$$ On revient à $t$ : $$\frac{\pi}{6}t=\frac{\pi}{3}\Longrightarrow t=2, \qquad \frac{\pi}{6}t=\frac{5\pi}{3}\Longrightarrow t=10.$$ La grandeur vaut donc $14$ aux instants $\boxed{t=2\text{ heures et }t=10\text{ heures}}$.

Correction R1 – Valeur et signe

Par parité et valeur usuelle : $$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) =\boxed{\frac12}.$$ L’angle $7\pi/6$ est dans le troisième quadrant : $$\boxed{\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac12}.$$

Correction R2 – Période et symétrie

Correction R3 – Équation

Le cosinus s’annule aux angles $\pi/2$ et $3\pi/2$ sur une période. Dans $[-\pi,\pi]$, cela donne les deux angles $$\boxed{x=-\frac{\pi}{2}\quad\text{ou}\quad x=\frac{\pi}{2}.}$$

Correction R4 – Dérivée

On dérive chaque terme : $$\begin{aligned} q'(x) &=0+2(\cos x)'-(\sin x)'\\ &=2(-\sin x)-\cos x\\ &=\boxed{-2\sin x-\cos x}. \end{aligned}$$

Correction R5 – Variation

La dérivée du cosinus est $$(\cos x)'=-\sin x.$$ Sur $]0,\pi[$, le sinus est strictement positif, donc $-\sin x<0$. Le cosinus est ainsi strictement décroissant sur $[0,\pi]$. Ses valeurs aux extrémités confirment le sens : $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi)=-1$.

Correction R6 – Analyser une erreur

Le raisonnement donne une solution correcte, $x=\pi/3$, mais il oublie ł’autre angle symétrique et les tours complets. Comme le cosinus est pair et périodique, les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $$\boxed{x=2k\pi+\frac{\pi}{3} \quad\text{ou}\quad x=2k\pi-\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.}$$ Si l’intervalle était $[-\pi,\pi]$, on conserverait seulement $$x=-\frac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad x=\frac{\pi}{3}.$$