Fonctions sinus et cosinus.
Décrire les mouvements qui se répètent

Fiche 01 / 07

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

Les prérequis indispensables

Un angle et sa mesure. Un angle peut être mesuré en degrés ou en radians. Un tour complet vaut $360^\circ$, mais aussi $2\pi$ radians. Un demi-tour vaut $180^\circ=\pi$ radians. Dans ce cours, les fonctions $\sin$ et $\cos$ utilisent les radians, sauf indication contraire.

Lire un intervalle. L’intervalle $[-\pi,\pi]$ contient ses deux bornes. Par exemple, $-\pi\leq x\leq\pi$ signifie que $x$ est compris entre ces deux nombres, bornes incluses.

Dérivée et variations. Lorsque $f'(x)>0$ sur un intervalle, $f$ est croissante sur cet intervalle. Lorsque $f'(x)<0$, $f$ est décroissante. Il faut donc savoir déterminer le signe d’une expression simple.

Calculatrice. Pour $\cos(1)$, le $1$ est un angle de $1$ radian, et non un angle de $1^\circ$. Une erreur de mode peut donner un résultat numériquement plausible mais faux pour le problème étudié. Les valeurs exactes, comme $\cos(\pi/3)=1/2$, sont à privilégier quand elles sont connues.

À retenirAvant de calculer, identifier l’unité de l’angle. Dans tout le chapitre, une expression comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ est lue en radians. Le diagnostic vérifie surtout les conversions, les signes, les dérivées et la lecture d’un intervalle. Une difficulté indique un rappel à faire, pas un échec.

Fiche 02 / 07

1. Du cercle trigonométrique aux fonctions

L’idée essentielle : les coordonnées d’un point qui tourne

Imagine un point $M$ qui se déplace sur un cercle de rayon $1$, centré en l’origine $O$. On part du point $A(1;0)$ et on tourne dans le sens trigonométrique, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Après une rotation d’angle $x$, le point atteint une position $M_x$.

Le nombre $\cos(x)$ est l’abscisse de $M_x$, et le nombre $\sin(x)$ est son ordonnée. Le sinus et le cosinus décrivent donc deux coordonnées d’un même mouvement circulaire.

Radian et cercle unité

Le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, muni d’un sens positif. La mesure en radians est liée à la longueur de l’arc : un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$ sur un cercle de rayon $1$. Un tour complet correspond donc à la longueur du cercle, $2\pi$, et vaut $2\pi$ radians.

Les conversions essentielles sont : $$\begin{array}{c|ccccc} \text{degrés}&0^\circ&90^\circ&180^\circ&270^\circ&360^\circ\\ \hline \text{radians}&0&\dfrac{\pi}{2}&\pi&\dfrac{3\pi}{2}&2\pi \end{array}$$

Pour convertir des degrés en radians, on utilise la proportion $$\text{mesure en radians} =\text{mesure en degrés}\times\frac{\pi}{180}.$$ Par exemple, $$60^\circ=60\times\frac{\pi}{180} =\frac{\pi}{3}.$$

Définition et premières propriétés

Pour tout réel $x$, le point $M_x$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées $$\boxed{M_x=(\cos x\,;\,\sin x).}$$ Cette définition donne immédiatement :

• $-1\leq\cos x\leq1$ et $-1\leq\sin x\leq1$, car les coordonnées d’un point du cercle unité sont comprises entre $-1$ et $1$ ;

• $\cos^2 x+\sin^2 x=1$, car $M_x$ appartient au cercle $X^2+Y^2=1$ ;

• le signe de $\cos x$ dépend de la position à droite ou à gauche de l’axe vertical, et le signe de $\sin x$ dépend de la position au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal.

La notation $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$. Elle ne signifie pas $\cos(x^2)$.

Valeurs usuelles

Les valeurs des angles $\pi/6$, $\pi/4$ et $\pi/3$ se déduisent de triangles particuliers. Elles sont à connaître progressivement : $$\begin{array}{c|ccccc} x&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\ \hline \cos x&1&\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac12&0\\[2mm] \sin x&0&\dfrac12&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{\sqrt3}{2}&1 \end{array}$$

En utilisant le cercle, on complète notamment : $$\cos(\pi)=-1,\qquad \sin(\pi)=0,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.$$

Exemple entièrement détaillé

Déterminons $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$.

Étape 1 : l’angle $-2\pi/3$ est situé dans le troisième quadrant lorsqu’on le lit dans le sens positif après un tour complet : $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}.$$ Les deux coordonnées sont donc négatives.

Étape 2 : l’angle de référence est $\pi/3$. Les valeurs absolues sont donc celles de $\cos(\pi/3)$ et $\sin(\pi/3)$ : $$\left\lvert\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right\rvert=\frac12, \qquad \left\lvert\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right\rvert=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Étape 3 : on remet les signes du troisième quadrant : $$\boxed{\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12}, \qquad \boxed{\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}}.$$

Contrôle : $\frac14+\frac34=1$, ce qui vérifie $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

À retenirSur le cercle unité, $\cos x$ est l’abscisse et $\sin x$ est l’ordonnée. Toujours vérifier le quadrant avant de choisir les signes. Les deux fonctions restent entre $-1$ et $1$, et $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Fiche 03 / 07

2. Parité, périodicité et courbes

Deux façons de retrouver le même point

Après un tour complet, le point revient à sa position initiale. Pour tout réel $x$, $$\boxed{\cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.}$$ On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$. Elles recommencent le même motif tous les $2\pi$ radians.

Le point correspondant à l’angle $-x$ est le symétrique du point correspondant à $x$ par rapport à l’axe horizontal. L’abscisse ne change pas, mais l’ordonnée change de signe : $$\boxed{\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.}$$ La fonction cosinus est donc paire, et la fonction sinus est impaire.

Graphiquement :

• la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;

• la courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine ;

• la périodicité permet de construire la courbe sur un intervalle puis de répéter le motif.

Courbe de la fonction sinus

Sur l’intervalle $[-\pi,\pi]$, la courbe de $y=\sin x$ passe par les points remarquables : $$(-\pi;0),\quad \left(-\frac{\pi}{2};-1\right),\quad (0;0),\quad \left(\frac{\pi}{2};1\right),\quad (\pi;0).$$ Elle se répète ensuite avec la période $2\pi$.

Courbe de la fonction cosinus

Sur $[-\pi,\pi]$, la courbe de $y=\cos x$ passe par : $$(-\pi;-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2};0\right),\quad (0;1),\quad \left(\frac{\pi}{2};0\right),\quad (\pi;-1).$$ Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, puis se répète avec la période $2\pi$.

Dérivées et variations

Les deux formules de dérivation à connaître sont : $$\boxed{(\sin x)'=\cos x}, \qquad \boxed{(\cos x)'=-\sin x}.$$ Elles signifient que la pente de la courbe du sinus est donnée par le cosinus, et que la pente de la courbe du cosinus est l’opposé du sinus.

Le signe de $\cos x$ donne donc les variations de $\sin x$, tandis que le signe de $-\sin x$ donne les variations de $\cos x$. Sur $[-\pi,\pi]$, pour le sinus : $$\begin{array}{c|c|c} \text{Intervalle} & \text{Signe de \(\cos x\)} & \text{Variation de \(\sin x\)}\\ \hline \left[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right] & \leq 0 & \text{décroissante}\\ \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] & \geq 0 & \text{croissante}\\ \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right] & \leq 0 & \text{décroissante} \end{array}$$ Pour le cosinus : $$\begin{array}{c|c|c} \text{Intervalle} & \text{Signe de \(-\sin x\)} & \text{Variation de \(\cos x\)}\\ \hline \left[-\pi,0\right] & \geq 0 & \text{croissante}\\ \left[0,\pi\right] & \leq 0 & \text{décroissante} \end{array}$$ Aux bornes où la dérivée s’annule, la fonction peut changer de sens de variation : le sinus atteint un minimum en $-\pi/2$ et un maximum en $\pi/2$, tandis que le cosinus atteint un maximum en $0$.

Exemple entièrement détaillé

Étudions les variations de $f(x)=2+\cos x$ sur $[-\pi,\pi]$.

Étape 1 : dérivée. $$f'(x)=(2)'+(\cos x)'=0-\sin x=-\sin x.$$

Étape 2 : signe de la dérivée. Sur $[-\pi,0]$, on a $\sin x\leq0$, donc $f'(x)=-\sin x\geq0$. Sur $[0,\pi]$, on a $\sin x\geq0$, donc $f'(x)\leq0$.

Étape 3 : valeurs aux points importants. $$f(-\pi)=2+\cos(-\pi)=1,\qquad f(0)=2+\cos(0)=3,\qquad f(\pi)=2+\cos(\pi)=1.$$

Conclusion : $f$ est croissante sur $[-\pi,0]$, puis décroissante sur $[0,\pi]$. Elle atteint son maximum $3$ en $x=0$ et son minimum $1$ aux deux extrémités de l’intervalle.

À retenirPour étudier les variations, dériver d’abord, puis étudier le signe de la dérivée. Sur $[-\pi,\pi]$, $\cos$ monte de $-1$ à $1$ puis redescend à $-1$, tandis que $\sin$ descend jusqu’à $-1$, monte jusqu’à $1$, puis redescend. La périodicité permet de répéter ces informations.

Fiche 04 / 07

3. Résoudre des équations et des inéquations

Choisir un angle de référence

Pour une valeur $a$ comprise entre $-1$ et $1$, la calculatrice permet de définir : $$\alpha=\arccos(a),\qquad 0\leq\alpha\leq\pi,$$ où $\arccos(a)$ est l’angle dont le cosinus vaut $a$. De même, $$\beta=\arcsin(a),\qquad -\frac{\pi}{2}\leq\beta\leq\frac{\pi}{2},$$ où $\arcsin(a)$ est l’angle dont le sinus vaut $a$.

Attention : $\arccos(a)$ et $\arcsin(a)$ désignent des angles références. Pour trouver toutes les solutions, il faut utiliser la symétrie et la périodicité ; une seule touche de calculatrice ne donne pas toutes les solutions.

Équation cosinus sur l’intervalle de référence

Sur $[-\pi,\pi]$, la fonction cosinus est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Si $\alpha=\arccos(a)$, alors : $$\boxed{\cos x=a\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\alpha\ \text{ou}\ x=\alpha \quad\text{sur }[-\pi,\pi],}$$ Lorsque $a=1$, les deux écritures donnent le même réel $x=0$. Lorsque $a=-1$, elles donnent $x=-\pi$ et $x=\pi$ : ces deux réels représentent le même point sur le cercle, mais restent deux nombres distincts dans $[-\pi,\pi]$. Si $a>1$ ou $a<-1$, il n’y a aucune solution car un cosinus reste entre $-1$ et $1$.

Sur $\mathbb{R}$, les solutions s’écrivent : $$\boxed{x=2k\pi+\alpha\quad\text{ou}\quad x=2k\pi-\alpha,\qquad k\in\mathbb{Z}.}$$

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $\cos x=\dfrac12$ sur $[-\pi,\pi]$.

Étape 1 : la valeur $\dfrac12$ est celle du cosinus de $\pi/3$, donc $$\alpha=\arccos\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{3}.$$

Étape 2 : la symétrie de la courbe du cosinus donne les deux abscisses opposées : $$x=-\frac{\pi}{3} \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{\pi}{3}.$$

Conclusion : $$\boxed{\mathcal{S}= \left\{-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right\}.}$$

Contrôle graphique : aux deux angles, le point du cercle a la même abscisse $1/2$, l’un au-dessus et l’autre au-dessous de l’axe horizontal.

Équation sinus

Pour résoudre $\sin x=a$ sur $\mathbb{R}$, on pose $\beta=\arcsin(a)$. Les solutions générales sont $$\boxed{x=\beta+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\beta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.}$$ Lorsque l’on travaille sur un intervalle comme $[-\pi,\pi]$, on écrit ces solutions puis on ne conserve que celles qui appartiennent à l’intervalle. Cette dernière vérification est indispensable.

Inéquation cosinus sur $[-\pi,\pi]$

Soit $-1<a<1$ et $\alpha=\arccos(a)$. Comme le cosinus est pair et décroît sur $[0,\pi]$, $$\boxed{\cos x\leq a \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-\pi,-\alpha]\cup[\alpha,\pi] \quad\text{sur }[-\pi,\pi].}$$ Pour une inéquation stricte, on remplace les crochets par des parenthèses aux endroits où l’égalité est exclue. Il faut aussi traiter les cas limites : $$\begin{array}{c|c} \text{Valeur de }a&\text{Solution de \(\cos x\leq a\) sur \([-\pi,\pi]\)}\\ \hline a<-1&\varnothing\\ a=-1&\{-\pi\,;\,\pi\}\\ a\geq1&[-\pi,\pi] \end{array}$$

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $\cos x\leq\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[-\pi,\pi]$.

Étape 1 : on reconnaît $$\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.$$

Étape 2 : sur $[0,\pi]$, le cosinus est décroissant. Il devient inférieur ou égal à $\sqrt2/2$ à partir de $\pi/4$.

Étape 3 : on utilise la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : $$\boxed{\mathcal{S}= \left[-\pi,-\frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4},\pi\right].}$$

Contrôle : $x=\pi$ et $x=-\pi$ conviennent car le cosinus vaut $-1$. En revanche $x=0$ ne convient pas car $\cos(0)=1$.

Méthode

Pour une équation ou une inéquation trigonométrique :

1. vérifier que la valeur demandée appartient à $[-1,1]$ ;

2. trouver l’angle de référence avec une valeur exacte ou la calculatrice réglée en radians ;

3. utiliser la symétrie du cercle ou de la courbe ;

4. respecter l’intervalle demandé et vérifier les bornes.

Corrections du diagnostic →

À retenirUne équation $\cos x=a$ demande toutes les abscisses du cercle ayant la valeur $a$, pas seulement $\arccos(a)$. Pour $\cos x\leq a$ sur $[-\pi,\pi]$, repérer les deux angles $-\arccos(a)$ et $\arccos(a)$, puis prendre les portions de la courbe situées sous la droite $y=a$.

Fiche 05 / 07

4. Étudier une fonction construite avec sinus et cosinus

Une méthode en cinq étapes

Pour étudier une fonction trigonométrique simple sur un intervalle, on peut suivre cette organisation :

1. préciser l’intervalle étudié et le sens de la variable ;

2. calculer la dérivée en utilisant $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$ ;

3. étudier le signe de la dérivée, éventuellement en s’appuyant sur les variations et les valeurs du cercle ;

4. construire le tableau de variations ;

5. interpréter les valeurs extrêmes dans le contexte.

Exemple entièrement détaillé

Étudions $f(x)=\sin x+\cos x$ sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

Étape 1 : dérivée. $$f'(x)=(\sin x)'+(\cos x)'=\cos x-\sin x.$$

Étape 2 : recherche du changement de signe. Sur $[0,\pi/2]$, le sinus est croissant et le cosinus est décroissant. Les deux valent $\sqrt2/2$ en $x=\pi/4$. Ainsi : $$\begin{array}{c|ccc} x&0&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}\\ \hline \cos x-\sin x&+&0&- \end{array}$$ La dérivée est positive avant $\pi/4$, puis négative après.

Étape 3 : variations et valeurs. $$f(0)=0+1=1,\qquad f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2,\qquad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+0=1.$$

Conclusion : $f$ est croissante sur $[0,\pi/4]$, puis décroissante sur $[\pi/4,\pi/2]$. Elle atteint son maximum $\sqrt2$ pour $x=\pi/4$, et son minimum $1$ aux deux extrémités de l’intervalle.

Application géométrique : maximiser une aire

On considère un quart de cercle de rayon $R>0$, centré en $O$. Un point $M$ du quart de cercle est repéré par un angle $x\in[0,\pi/2]$. Les projections de $M$ sur les deux axes forment avec l’origine un rectangle.

Les coordonnées de $M$ sont $$M=(R\cos x\,;\,R\sin x).$$ L’aire du rectangle est donc $$A(x)=R\cos x\times R\sin x =R^2\sin x\cos x.$$ La fonction à optimiser est bien construite à partir de sinus et cosinus.

Exemple entièrement détaillé

Déterminons la plus grande aire possible lorsque $R=1$.

Étape 1 : domaine. L’angle varie dans $[0,\pi/2]$, donc $$A(x)=\sin x\cos x,\qquad x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$$

Étape 2 : dérivée. On utilise la dérivée d’un produit : $$\begin{aligned} A'(x) &=(\sin x)'\cos x+\sin x(\cos x)'\\ &=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\\ &=\cos^2x-\sin^2x\\ &=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x). \end{aligned}$$

Étape 3 : signe. Sur $[0,\pi/2]$, le nombre $\cos x+\sin x$ est positif. D’après les variations de sinus et cosinus, $\cos x-\sin x$ est positif avant $\pi/4$, nul en $\pi/4$, puis négatif après. Par conséquent : $$A'(x)>0\text{ sur }\left[0,\frac{\pi}{4}\right[,\qquad A'(x)<0\text{ sur }\left]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right].$$

Étape 4 : conclusion. L’aire augmente puis diminue. Elle est maximale pour $x=\pi/4$ : $$A\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt2}{2} =\boxed{\frac12}.$$ Le carré inscrit dans le quart de cercle est donc le rectangle de plus grande aire dans cette famille.

Donner du sens à une fonction périodique

Une fonction de la forme $$h(t)=m+A\cos(\omega t)$$ peut modéliser une grandeur qui oscille autour d’une valeur moyenne $m$. Dans cette écriture, $A$ donne l’écart maximal à la moyenne. Si $\omega>0$, une période $T$ vérifie $$\omega T=2\pi,\qquad\text{donc}\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}.$$ Cette lecture est une application : elle ne remplace pas l’étude du domaine et des variations demandée dans un problème.

À retenirPour une fonction trigonométrique, le domaine de l’énoncé est important. Une valeur maximale doit être annoncée avec l’abscisse où elle est atteinte et, dans un problème concret, avec son unité. La dérivée permet de justifier l’optimum ; le dessin seul permet de conjecturer, mais pas de démontrer.

Fiche 06 / 07

5. Exercices gradués

Conseil de travail. Commencer par les questions accessibles et écrire les étapes. Pour chaque exercice, la compétence travaillée est indiquée. Les indices donnent une piste ; les corrections détaillées se trouvent dans corrections.pdf.

Fiche 07 / 07

6. Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

La fiche de synthèse

Erreurs fréquentes

• Mélanger degrés et radians : $\pi$ radians correspond à $180^\circ$, pas à $3{,}14^\circ$.

• Oublier le quadrant : les valeurs absolues ne suffisent pas ; il faut remettre le bon signe à chaque coordonnée.

• Donner une seule solution : $\arccos(a)$ est un angle de référence, pas nécessairement l’ensemble des solutions.

• Oublier l’intervalle : une formule valable sur $\mathbb{R}$ doit être filtrée lorsque l’énoncé impose $[-\pi,\pi]$.

• Lire le signe de $-\sin x$ comme celui de $\sin x$ : le coefficient $-1$ inverse le signe.

• Conclure à partir d’un dessin seulement : le graphique aide à conjecturer ; la dérivée justifie les variations et l’optimum.

Auto-évaluation

Cocher une compétence que tu sais faire seule, une compétence à revoir avec un exemple, et une compétence qui demande encore un accompagnement :

• convertir un angle et régler la calculatrice en radians ;

• retrouver les signes et les valeurs sur le cercle ;

• utiliser parité et périodicité ;

• dériver puis construire des variations ;

• résoudre $\cos x=a$ et $\cos x\leq a$ sur un intervalle ;

• rédiger une conclusion d’optimisation avec une unité.

Rappel différé

À refaire deux ou trois jours plus tard, sans relire immédiatement le cours. Les réponses sont dans le fascicule des corrections.

À retenirUne solution solide comporte trois éléments : une méthode identifiable, des calculs contrôlables et une phrase de conclusion. En cas de blocage, revenir au cercle, dessiner l’intervalle demandé et distinguer l’erreur de calcul de l’erreur de méthode.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.