Corrections expliquées.
Primitives et équations différentielles.

Correction D1 – Dériver pour remonter ensuite

On dérive terme à terme : $$\begin{aligned} p'(x)&=(2x^3)'-(5x^2)'+(4x)'-(-7)'\\ &=6x^2-10x+4. \end{aligned}$$ Pour retrouver une fonction à partir de sa dérivée, on cherche une primitive de l’expression obtenue. Autrement dit, on cherche une fonction dont la dérivée est connue.

Correction D2 – Dérivées de référence

Les trois dérivées à connaître sont $$\boxed{(e^x)'=e^x},\qquad \boxed{(\sin x)'=\cos x},\qquad \boxed{(\cos x)'=-\sin x}.$$ Pour trouver une primitive, on lit ensuite ces égalités dans l’autre sens, en tenant compte d’un éventuel signe.

Correction D3 – Fonction composée

Pour $u(x)=(3x+1)^2$, la dérivée de la puissance est multipliée par la dérivée de l’intérieur : $$u'(x)=2(3x+1)\times3=6(3x+1).$$ Pour $v(x)=e^{2x}$, la dérivée de $2x$ vaut $2$, donc $$v'(x)=2e^{2x}.$$ La présence de la dérivée intérieure est le réflexe à rechercher dans une primitive composée.

Correction D4 – Constante invisible

Correction D5 – Vérifier une équation

On dérive la fonction proposée : $$y'(x)=4\times(-2)e^{-2x}=-8e^{-2x}.$$ Le membre de droite vaut $$-2y(x)=-2\times4e^{-2x}=-8e^{-2x}.$$ Les deux expressions sont égales. La fonction $y(x)=4e^{-2x}$ est donc bien solution de $y'=-2y$.

Correction D6 – Condition initiale

Dans $y(x)=Ce^{3x}$, on remplace $x$ par $0$ : $$y(0)=Ce^0=C.$$ La condition $y(0)=5$ impose donc $$\boxed{C=5}.$$ La solution correspondante est $y(x)=5e^{3x}$.

Correction D7 – Solution constante

Si $y(x)=k$, alors $y'(x)=0$. En remplaçant dans l’équation, $$0=2k-6.$$ On obtient $2k=6$, puis $$\boxed{k=3}.$$ La fonction constante $y(x)=3$ est la solution d’équilibre.

Correction D8 – Unités et sens du modèle

Si $T(t)>20$, alors $T(t)-20>0$. Le produit par $-0{,}2$ est donc négatif : $$T'(t)<0.$$ La température diminue à cet instant : elle se rapproche de la température ambiante de $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. Le coefficient $0{,}2$ mesure une rapidité relative ; si $t$ est en minutes, son unité est $\mathrm{min}^{-1}$.

Correction 1 — Lire le tableau des primitives

b) Sur $]0,+\infty[$, une primitive de $1/x$ est $\ln x$ : $$\boxed{G(x)=\ln x+C.}$$ On pourrait aussi écrire $\ln\left\lvertx\right\rvert+C$, qui se simplifie ici puisque $x>0$.

c) On utilise $(e^x)'=e^x$ et $(\sin x)'=\cos x$ : $$\boxed{H(x)=e^x-2\sin x+C.}$$ En effet, $H'(x)=e^x-2\cos x$.

d) Comme $(2\sqrt{x})'=1/\sqrt{x}$ pour $x>0$, $$\boxed{K(x)=2\sqrt{x}+C.}$$

Correction 2 — Reconnaître la dérivée intérieure

b) L’intérieur $u(x)=2x-1$ a pour dérivée $2$. Donc $$\boxed{G(x)=e^{2x-1}+C},$$ car $G'(x)=2e^{2x-1}$.

c) L’intérieur $u(x)=3x+1$ a pour dérivée $3$. Sur tout intervalle ne contenant pas $-1/3$, $$\boxed{H(x)=\ln\left\lvert3x+1\right\rvert+C}.$$ La dérivée vaut bien $3/(3x+1)$.

d) Avec $u(x)=2x^2+5$, on a $u'(x)=4x$. De plus, $u(x)>0$ pour tout réel $x$. Ainsi, $$\boxed{K(x)=\ln(2x^2+5)+C}.$$

Correction 3 — Une primitive fixée par sa valeur

Une primitive générale est $$F(x)=4x^3-2x^2+3e^x+C,$$ car la dérivée de $4x^3$ est $12x^2$, celle de $-2x^2$ est $-4x$, et celle de $3e^x$ est $3e^x$.

On utilise ensuite $F(0)=5$ : $$5=4\times0^3-2\times0^2+3e^0+C=3+C.$$ Ainsi $C=2$, et la fonction cherchée est $$\boxed{F(x)=4x^3-2x^2+3e^x+2.}$$ Contrôles : $$F'(x)=12x^2-4x+3e^x, \qquad F(0)=3+2=5.$$ Les deux conditions sont vérifiées.

Correction 4 — Équation homogène

b) L’équation est $y'=ay$ avec $a=-4$. Toutes ses solutions sont donc $$\boxed{y(x)=Ce^{-4x},\qquad C\in\mathbb{R}.}$$

c) On impose la condition : $$y(0)=Ce^0=C=7.$$ La solution unique correspondant à la condition initiale est $$\boxed{y(x)=7e^{-4x}.}$$

Correction ?

5 – Équation $y'=ay+b$ Étape 1 – solution constante. Posons $y_p(x)=k$. Alors $$0=3k+12 \quad\Longrightarrow\quad k=-4.$$

Étape 2 – solution générale. Pour $a=3$, toutes les solutions sont $$y(x)=k+Ce^{3x}=-4+Ce^{3x}.$$

Étape 3 – condition initiale. $$-1=y(0)=-4+C, \qquad C=3.$$ La solution cherchée est $$\boxed{y(x)=-4+3e^{3x}.}$$ Vérification : $$y'(x)=9e^{3x}, \qquad 3y(x)+12=3(-4+3e^{3x})+12=9e^{3x}.$$ De plus, $y(0)=-4+3=-1$.

Correction 6 — Une solution particulière est donnée

b) La condition initiale donne $$4=y(0)=0+1+C, \qquad C=3.$$ La solution demandée est $$\boxed{y(x)=x+1+3e^{2x}.}$$ La méthode consiste à enlever la solution particulière : la partie restante obéit à l’équation homogène $z'=2z$.

Correction 7 — Refroidissement d’une boisson

b) La forme générale est $$T(t)=20+Ce^{-0{,}2t}.$$ Comme $T(0)=80$, $$80=20+C, \qquad C=60.$$ Donc $$\boxed{T(t)=20+60e^{-0{,}2t}.}$$

c) À $t=5$, $$T(5)=20+60e^{-1}.$$ Avec $e^{-1}\approx0{,}3679$, $$T(5)\approx20+60\times0{,}3679 \approx42{,}1.$$ La température est donc d’environ $\boxed{42{,}1\,^{\circ}\mathrm{C}}$ après cinq minutes.

d) Pour $t\geq0$, $$\begin{aligned} T(t)\leq30 &\Longleftrightarrow 20+60e^{-0{,}2t}\leq30\\ &\Longleftrightarrow 60e^{-0{,}2t}\leq10\\ &\Longleftrightarrow e^{-0{,}2t}\leq\frac16. \end{aligned}$$ La fonction logarithme est croissante, donc $$-0{,}2t\leq\ln\left(\frac16\right)=-\ln6.$$ En divisant par $-0{,}2$, on inverse le sens de l’inégalité : $$t\geq\frac{\ln6}{0{,}2}=5\ln6\approx8{,}96.$$ La température devient donc inférieure ou égale à $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ à partir d’environ $\boxed{9{,}0\text{ minutes}}$. L’unité est la minute, puisque $t$ est exprimé en minutes.

Correction 8 — Deux pas de méthode d’Euler

Ici $g(t,y)=y-2$, $h=0{,}5$, $t_0=0$ et $y_0=5$. La formule est $$y_{n+1}=y_n+0{,}5(y_n-2).$$

Premier pas : $$y_1=5+0{,}5(5-2)=5+1{,}5=6{,}5.$$ Deuxième pas : $$y_2=6{,}5+0{,}5(6{,}5-2) =6{,}5+2{,}25=8{,}75.$$ Après deux pas, on est à $t_2=1$, donc Euler donne $$\boxed{y(1)\approx8{,}75.}$$

Pour obtenir la solution exacte, on cherche d’abord la constante d’équilibre $2$. Les solutions sont $$y(t)=2+Ce^t.$$ La condition $y(0)=5$ donne $C=3$, donc $$y(1)=2+3e\approx10{,}15.$$ Les valeurs diffèrent parce qu’Euler remplace la courbe par une succession de segments de tangentes et utilise ici un pas de $0{,}5$. Avec un pas plus petit, l’approximation est généralement plus précise.

Correction R1 – Primitive courte

Sur $]0,+\infty[$, on utilise $(x^4)'=4x^3$, $(\ln x)'=1/x$ et $(\sin x)'=\cos x$. Toutes les primitives sont $$\boxed{F(x)=x^4-2\ln x+\sin x+C.}$$ En dérivant, on retrouve $4x^3-2/x+\cos x$.

Correction R2 – Constante de la famille

La dérivée d’une constante est nulle. Ainsi, $$(F(x)+7)'=F'(x)+0=F'(x).$$ Ajouter $7$ déplace donc la courbe verticalement sans modifier ses pentes.

Correction R3 – Équation affine

Ici $a=-0{,}5$ et $b=10$. La valeur d’équilibre est $$k=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{-0{,}5}=20.$$ La solution générale est $$y(x)=20+Ce^{-0{,}5x}.$$ La condition $y(0)=12$ donne $12=20+C$, donc $C=-8$. Finalement, $$\boxed{y(x)=20-8e^{-0{,}5x}.}$$ La solution part de $12$ et se rapproche de l’équilibre $20$ lorsque $x$ augmente.

Correction R4 – Réflexe Euler

On utilise une seule fois $$y_1=y_0+h(2-y_0).$$ Avec $y_0=0$ et $h=0{,}25$, $$y_1=0+0{,}25(2-0)=\boxed{0{,}5}.$$