Primitives et équations différentielles.
Comprendre une fonction à partir de sa

Fiche 01 / 06

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 à 15 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les gestes à reprendre, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

Les prérequis indispensables

Dérivée. La dérivée $f'(x)$ mesure le taux de variation de $f$ au voisinage de $x$. Géométriquement, elle est le coefficient directeur de la tangente à la courbe. Il faut connaître les dérivées de $x^n$, $e^x$, $\sin x$ et $\cos x$, ainsi que la dérivée d’une composée.

Calcul littéral. Il faut savoir développer une parenthèse, isoler une inconnue et résoudre une équation du premier degré. Le nombre $C$ utilisé dans une famille de fonctions désigne une constante réelle : il ne dépend pas de $x$.

Lecture d’un modèle. Si $T'(t)<0$, la température diminue au moment $t$. Une équation différentielle ne cherche donc pas un nombre inconnu mais une fonction inconnue qui respecte une règle de variation.

À retenirUne primitive est une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. Avant de calculer, repérer la fonction inconnue, sa dérivée, les constantes et la condition initiale éventuelle.

Fiche 02 / 06

1. Les primitives : inverser la dérivation

L’idée essentielle : retrouver une hauteur à partir d’une pente

Supposons que l’on connaisse la pente d’une courbe en chaque point. Si cette pente vaut $2x$, la fonction $F(x)=x^2$ convient, car $F'(x)=2x$. Mais $G(x)=x^2+4$ convient aussi : ajouter une hauteur constante ne change aucune pente.

La recherche d’une primitive est donc la question inverse de la dérivation : on connaît $f$, et l’on cherche une fonction $F$ telle que $F'=f$.

Définition et propriété fondamentale

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $$F'(x)=f(x)\qquad\text{pour tout }x\in I.$$

Dire « trouver une primitive de $f$ » revient donc à résoudre l’équation différentielle $y'=f$. Le symbole $y'$ désigne la dérivée de la fonction inconnue $y$.

Propriété. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont $$\boxed{F(x)+C\quad\text{où }C\in\mathbb{R}.}$$

Pourquoi ? Si $G$ est une autre primitive, alors $$(G-F)'=G'-F'=f-f=0.$$ Une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante. Ainsi $G-F=C$, donc $G=F+C$. Réciproquement, $(F+C)'=F'=f$, car la dérivée d’une constante est nulle.

L’hypothèse « sur un intervalle » est importante : elle garantit que les points peuvent être reliés sans sortir du domaine d’étude.

Tableau des primitives de référence

Dans le tableau, on travaille sur un intervalle où les expressions sont définies. Chaque ligne signifie qu’une primitive possible est donnée, à laquelle il faut ajouter une constante réelle $C$.

Par exemple, la ligne $\sin x\mapsto -\cos x$ vient de $$(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x.$$ La notation $\ln\left\lvertx\right\rvert$ est nécessaire pour une primitive de $1/x$ sur un intervalle négatif comme $]-\infty,0[$, car $\ln(x)$ n’est défini que pour $x>0$.

Linéarité : primitiver terme à terme

Si $F'=f$ et $G'=g$, et si $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes, alors $$(\alpha F+\beta G)'=\alpha f+\beta g.$$ On peut donc chercher une primitive de chaque terme, puis les additionner.

Exemple entièrement détaillé

Cherchons les primitives, sur chacun des intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, de $$f(x)=6x^2-\frac4x+3e^{3x}-2\sin x.$$

Étape 1 – traiter chaque terme. $$\begin{aligned} \int 6x^2\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &= 2x^3,\\ \int -\frac4x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &= -4\ln\left\lvertx\right\rvert,\\ \int 3e^{3x}\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &= e^{3x},\\ \int -2\sin x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &= 2\cos x. \end{aligned}$$ Le troisième résultat utilise $(e^{3x})'=3e^{3x}$, et le dernier utilise $(2\cos x)'=-2\sin x$.

Étape 2 – réunir les termes. Toutes les primitives sont $$\boxed{F(x)=2x^3-4\ln\left\lvertx\right\rvert+e^{3x}+2\cos x+C,\quad C\in\mathbb{R}.}$$

Étape 3 – contrôler. En dérivant : $$F'(x)=6x^2-\frac4x+3e^{3x}-2\sin x=f(x).$$ Le contrôle confirme aussi que le domaine doit exclure $x=0$.

Reconnaître une composition

La dérivée d’une fonction composée permet de reconnaître les formes suivantes. Dans ce tableau, $u$ est une fonction dérivable et $u'$ sa dérivée.

Méthode

Pour chercher une primitive d’une expression composée :

1. repérer la fonction intérieure $u(x)$ ;

2. calculer mentalement ou sur le brouillon $u'(x)$ ;

3. vérifier que le facteur $u'(x)$ est bien présent, éventuellement multiplié par une constante ;

4. écrire la primitive à l’aide du tableau ;

5. dériver le résultat pour contrôler.

Corrections du diagnostic →

Exemple entièrement détaillé

Cherchons une primitive de $$g(x)=\frac{4x}{2x^2+5}.$$

On reconnaît le dénominateur $u(x)=2x^2+5$. Sa dérivée est $u'(x)=4x$, exactement le numérateur. La ligne $u'/u$ donne donc $$\boxed{G(x)=\ln(2x^2+5)+C.}$$ Le dénominateur est strictement positif pour tout réel $x$, donc cette expression est définie sur $\mathbb{R}$. Le contrôle est $$G'(x)=\frac{4x}{2x^2+5}=g(x).$$

Utiliser une condition initiale

Une condition comme $F(0)=3$ permet de choisir une seule fonction dans la famille $F+C$. Elle ne change pas la dérivée ; elle fixe la hauteur de la courbe en un point.

Exemple entièrement détaillé

On cherche la primitive $F$ de $$F'(x)=4x^3-2x+3e^x$$ qui vérifie $F(0)=5$.

Une primitive générale est $$F(x)=x^4-x^2+3e^x+C.$$ On applique la condition initiale : $$\begin{aligned} F(0)&=0^4-0^2+3e^0+C,\\ 5&=3+C,\\ C&=2. \end{aligned}$$ La fonction cherchée est donc $$\boxed{F(x)=x^4-x^2+3e^x+2.}$$ On contrôle les deux informations : $F'(x)=4x^3-2x+3e^x$ et $F(0)=5$.

À retenirPour une primitive, la constante $C$ est indispensable tant qu’aucune condition ne fixe la hauteur. Pour une condition initiale, écrire d’abord la famille générale, puis remplacer la valeur de $x$ et résoudre une équation numérique en $C$.

Fiche 03 / 06

2. Équations différentielles : l’inconnue est une fonction

Vocabulaire et vérification

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ à une ou plusieurs de ses dérivées. Une solution est une fonction dérivable qui vérifie cette relation pour tout $x$ de l’intervalle considéré.

Par exemple, pour vérifier si $y(x)=2e^{3x}-1$ est solution de $$y'=3(y+1),$$ on calcule d’abord $$y'(x)=6e^{3x}.$$ Puis on remplace $y$ dans le membre de droite : $$3\bigl(y(x)+1\bigr)=3\bigl(2e^{3x}-1+1\bigr)=6e^{3x}.$$ Les deux membres sont égaux : la fonction est bien solution.

Dans le cas $y'=f(x)$, les solutions sont exactement les primitives de $f$. Les équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ sont différentes : le second membre dépend aussi de la fonction inconnue $y$.

Résoudre $y'=ay$

Soit $a\in\mathbb{R}$. Les solutions de $$y'=ay$$ sur $\mathbb{R}$ sont $$\boxed{y(x)=Ce^{ax},\qquad C\in\mathbb{R}.}$$

Vérification. Si $y(x)=Ce^{ax}$, alors $$y'(x)=aCe^{ax}=ay(x).$$

Pourquoi n’y en a-t-il pas d’autres ? Pour une solution $y$, considérons $z(x)=e^{-ax}y(x)$. En utilisant la dérivée d’un produit, $$\begin{aligned} z'(x)&=(-ae^{-ax})y(x)+e^{-ax}y'(x)\\ &=e^{-ax}\bigl(y'(x)-ay(x)\bigr)\\ &=0. \end{aligned}$$ La fonction $z$ est donc constante, disons $C$, et $y(x)=Ce^{ax}$. Cette démonstration explique la forme de toutes les solutions.

Si l’on impose $y(x_0)=y_0$, alors $$y_0=Ce^{ax_0} \quad\Longrightarrow\quad C=y_0e^{-ax_0},$$ et la solution s’écrit plus lisiblement $$\boxed{y(x)=y_0e^{a(x-x_0)}.}$$

Cas particulier. Si $a=0$, l’équation devient $y'=0$ et les solutions sont les fonctions constantes, ce que donne aussi la formule $Ce^{0x}=C$.

Allure et interprétation des solutions

La relation $y'=ay$ signifie que la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur actuelle de $y$.

Le signe de $C$ détermine le signe de $y$, car $e^{ax}>0$. La solution nulle correspond à $C=0$.

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $$y'=-0{,}4y,\qquad y(0)=12.$$

Étape 1 – solution générale. Ici $a=-0{,}4$, donc $$y(x)=Ce^{-0{,}4x}.$$

Étape 2 – condition initiale. $$y(0)=Ce^0=C=12.$$

Conclusion. $$\boxed{y(x)=12e^{-0{,}4x}.}$$ Comme $-0{,}4<0$ et que la valeur initiale est positive, cette solution diminue vers $0$. On vérifie : $y'(x)=-4{,}8e^{-0{,}4x}=-0{,}4y(x)$.

Résoudre $y'=ay+b$

On commence par le cas $a\neq0$. On cherche une solution constante $y_p(x)=k$. Sa dérivée est nulle, donc $k$ doit vérifier $$0=ak+b.$$ On obtient $$\boxed{k=-\frac ba.}$$ Cette valeur est parfois appelée valeur d’équilibre.

Pour une solution quelconque $y$, posons $$z(x)=y(x)-k=y(x)+\frac ba.$$ Alors $$\begin{aligned} z'(x)&=y'(x)\\ &=ay(x)+b\\ &=a\bigl(z(x)+k\bigr)+b\\ &=az(x)+(ak+b)\\ &=az(x). \end{aligned}$$ La fonction $z$ vérifie donc l’équation homogène $z'=az$. Ainsi, $$\boxed{y(x)=-\frac ba+Ce^{ax},\qquad C\in\mathbb{R},\quad a\neq0.}$$

Si une condition $y(x_0)=y_0$ est donnée, la forme pratique est $$\boxed{y(x)=-\frac ba+\left(y_0+\frac ba\right)e^{a(x-x_0)}.}$$

Cas $a=0$. L’équation devient $y'=b$. On revient aux primitives : $$\boxed{y(x)=bx+C.}$$

Exemple entièrement détaillé

Résolvons $$y'=2y-6,\qquad y(0)=1.$$

Étape 1 – solution constante. Ici $a=2$ et $b=-6$. La valeur d’équilibre est $$k=-\frac{-6}{2}=3.$$

Étape 2 – solution générale. $$y(x)=3+Ce^{2x}.$$

Étape 3 – condition initiale. $$\begin{aligned} y(0)&=3+C=1,\\ C&=-2. \end{aligned}$$

Conclusion. $$\boxed{y(x)=3-2e^{2x}.}$$ Le contrôle donne $$y'(x)=-4e^{2x},\qquad 2y(x)-6=2(3-2e^{2x})-6=-4e^{2x}.$$ La condition $y(0)=1$ est également vérifiée.

Lorsqu’une solution particulière est donnée

Le programme peut fournir une solution particulière $y_p$ de $$y'=ay+f(x).$$ Si $y$ est une autre solution, alors $$(y-y_p)'=y'-y_p'=\bigl(ay+f(x)\bigr)-\bigl(ay_p+f(x)\bigr) =a(y-y_p).$$ La différence $y-y_p$ est donc une solution de $z'=az$. Toutes les solutions sont $$\boxed{y(x)=y_p(x)+Ce^{ax}.}$$ Cette technique est la même idée que pour $y'=ay+b$, où la solution particulière est constante.

Exemple entièrement détaillé

On sait que $y_p(x)=x+1$ est une solution de $$y'=2y-2x-1.$$ Toutes les solutions sont donc $$\boxed{y(x)=x+1+Ce^{2x}.}$$ Si l’on impose $y(0)=4$, alors $1+C=4$, donc $C=3$ et $y(x)=x+1+3e^{2x}$.

À retenirPour $y'=ay+b$ avec $a\neq0$, chercher d’abord la constante $k=-b/a$, puis ajouter la solution générale de $z'=az$ : $y=k+Ce^{ax}$. Une condition initiale détermine ensuite $C$. Enfin, toujours dériver la réponse et la remplacer dans l’équation.

Fiche 04 / 06

3. Modéliser et approcher une évolution

Exemple : refroidissement d’un liquide

Une boisson est à $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ au moment $t=0$. La pièce est à $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. On modélise sa température $T(t)$, en degrés Celsius, à l’instant $t$ exprimé en minutes par $$T'(t)=-0{,}2\bigl(T(t)-20\bigr).$$

En développant : $$T'(t)=-0{,}2T(t)+4.$$ On reconnaît $a=-0{,}2$, $b=4$, et la condition $T(0)=80$.

La température d’équilibre est $$T_e=-\frac ba=-\frac4{-0{,}2}=20\,^{\circ}\mathrm{C}.$$ La solution générale est donc $$T(t)=20+Ce^{-0{,}2t}.$$ La condition initiale donne $80=20+C$, donc $C=60$. Finalement, $$\boxed{T(t)=20+60e^{-0{,}2t}\quad (t\text{ en minutes}).}$$

Cette formule a un sens physique : $T(t)>20$, la température diminue, et elle se rapproche de la température de la pièce sans l’atteindre en un temps fini dans ce modèle. Le coefficient $-0{,}2$ s’exprime en $\mathrm{min}^{-1}$, afin que $T'$ soit en degrés Celsius par minute.

La méthode d’Euler

Une formule exacte n’est pas toujours disponible. La méthode d’Euler permet d’obtenir une approximation en avançant par petits pas.

Pour une équation $$y'=g(t,y),$$ on choisit un pas $h>0$, un point initial $(t_0,y_0)$, puis on calcule $$\boxed{t_{n+1}=t_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h\,g(t_n,y_n).}$$ L’idée est de remplacer localement la courbe par sa tangente : sa pente au point $(t_n,y_n)$ vaut $g(t_n,y_n)$.

Exemple entièrement détaillé

Appliquons deux pas d’Euler de longueur $h=1$ à l’équation de refroidissement $T'=-0{,}2(T-20)$, avec $T_0=80$.

Premier pas. $$T_1=T_0+1\times\bigl[-0{,}2(80-20)\bigr] =80-12=68.$$ Deuxième pas. $$T_2=T_1+1\times\bigl[-0{,}2(68-20)\bigr] =68-9{,}6=58{,}4.$$ Après deux minutes, Euler donne donc $T(2)\approx58{,}4\,^{\circ}\mathrm{C}$. La formule exacte donne $T(2)=20+60e^{-0{,}4}\approx60{,}2\,^{\circ}\mathrm{C}$. L’écart vient du pas assez grand ; diminuer $h$ améliore généralement l’approximation, au prix de davantage de calculs.

Méthode

Pour un exercice de modélisation :

1. définir la fonction et préciser les unités ;

2. traduire l’évolution en une équation différentielle ;

3. identifier $a$, $b$ et la condition initiale ;

4. résoudre avec la méthode adaptée ;

5. interpréter le résultat dans le contexte et vérifier les unités.

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4. Exercices gradués

Conseil. Pour chaque exercice, écris d’abord la compétence travaillée et les informations utiles. Si tu bloques, utilise l’indice, puis reprends au moins la première étape seule. Les corrections détaillées sont dans le fascicule séparé, avec la même numérotation.

Primitives directes

Condition initiale et vérification

Équation affine et solution particulière

Problème proche du bac : modélisation

Fiche 06 / 06

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Carte mentale à relire

• $F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F'=f$.

• Les primitives de $f$ sur un intervalle sont $F+C$.

• Pour une composition, repérer $u$ et vérifier la présence de $u'$.

• Les solutions de $y'=ay$ sont $Ce^{ax}$.

• Si $a\neq0$, les solutions de $y'=ay+b$ sont $-b/a+Ce^{ax}$. Si $a=0$, elles sont $bx+C$.

• Une condition initiale détermine la constante $C$, puis une phrase d’interprétation donne du sens au résultat.

• Euler utilise la pente connue : $y_{n+1}=y_n+h\,g(t_n,y_n)$.

Erreurs fréquentes à distinguer

Rappel différé

Ces questions sont à refaire deux ou trois jours plus tard, sans relire la correction. Elles servent à vérifier que la méthode est devenue disponible.

Auto-évaluation

Cocher une case après le travail :

• Je sais expliquer avec mes mots ce qu’est une primitive.

• Je sais vérifier une primitive en la dérivant.

• Je sais repérer une composition et sa dérivée intérieure.

• Je sais résoudre $y'=ay$ et utiliser une condition initiale.

• Je sais trouver la solution constante de $y'=ay+b$.

• Je sais interpréter un résultat avec ses unités.

Si une case reste vide, revenir seulement à la section correspondante et refaire l’exercice associé. Une difficulté localisée est une indication de travail, pas un jugement sur le niveau général.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.