Corrections expliquées.
Calcul intégral.

Correction D1

Correction D2

Correction D3

Une primitive de $2x+1$ est $$F(x)=x^2+x,$$ car $F'(x)=2x+1$. Toutes les primitives sont $x^2+x+C$, où $C$ est une constante réelle.

Correction D4

Sur $[0,1]$, $x+2$ est positive, donc sa contribution est positive : $$\int_0^1(x+2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_0^1 =\frac52>0.$$ En revanche $x-2\leq-1$ sur cet intervalle, donc $$\int_0^1(x-2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_0^1 =-\frac32<0.$$

Correction D5

L’aire du triangle est $$\frac12\times4\times3=6~\text{cm}^2.$$ La hauteur et la base doivent être exprimées dans des unités compatibles avant d’appliquer la formule.

Correction D6

Un débit est une quantité par unité de temps. Ainsi $$(\text{litres par minute})\times(\text{minutes}) =\text{litres}.$$ L’intégrale représente donc un volume exprimé en litres.

Correction 1 — 1

On cherche d’abord une primitive : $$F(x)=2x^2-2x, \qquad F'(x)=4x-2.$$ La relation primitive–intégrale donne $$\begin{aligned} I&=\int_1^3(4x-2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=\left[2x^2-2x\right]_1^3\\ &=(2\times3^2-2\times3)-(2\times1^2-2\times1)\\ &=(18-6)-(2-2)=12. \end{aligned}$$ Donc $\boxed{I=12}$. La fonction vaut $2$ en $1$ et $10$ en $3$ : une valeur positive est cohérente avec une aire sous la droite.

Correction 2 — 2

Une primitive de $x-1$ est $F(x)=\frac{x^2}{2}-x$. Donc $$\begin{aligned} J&=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^2\\ &=\left(\frac{4}{2}-2\right)-0=0. \end{aligned}$$ Ce résultat n’est pas l’aire géométrique totale, car la fonction change de signe en $x=1$. Les deux triangles ont chacun une aire $\frac12$, donc l’aire géométrique totale vaut $1$, tandis que les contributions signées $-\frac12$ et $+\frac12$ se compensent.

Correction 3 — 3

La relation de Chasles donne $$\int_0^6f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\int_0^2f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x+\int_2^6f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =5+(-1)=4.$$ En inversant les bornes, le signe change : $$\int_6^2f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x=-\int_2^6f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x=-(-1)=1.$$ La valeur $\int_0^6f=4$ ne permet pas de supposer que la fonction est positive partout ; elle est seulement la somme des deux contributions.

Correction 4 — 4

La largeur de l’intervalle est $5-2=3$. Comme $1\leq f(x)\leq4$, l’intégration de l’inégalité donne $$1(5-2)\leq\int_2^5f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq4(5-2),$$ soit $$\boxed{3\leq\int_2^5f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq12.}$$ La valeur moyenne est $$m_f=\frac{1}{3}\int_2^5f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.$$ En divisant l’encadrement par $3>0$, on obtient $$\boxed{1\leq m_f\leq4}.$$

Correction 5 — 5

Le volume écoulé est l’intégrale du débit : $$\begin{aligned} V&=\int_0^3(2+t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t\\ &=\left[2t+\frac{t^2}{2}\right]_0^3\\ &=\left(6+\frac92\right)-0 =\frac{21}{2}=10{,}5. \end{aligned}$$ Le résultat est $10{,}5~\text{L}$. Le débit moyen est le volume divisé par la durée : $$q_{\text{moy}}=\frac{10{,}5~\text{L}}{3~\text{min}} =\boxed{3{,}5~\text{L/min}}.$$ La valeur est comprise entre le débit initial $2$ et le débit final $5$.

Correction 6 — 6

On compare les deux fonctions grâce à leur différence : $$f(x)-g(x)=2x-x^2=x(2-x).$$ Pour $0\leq x\leq2$, les deux facteurs $x$ et $2-x$ sont positifs ou nuls. Ainsi $f$ est au-dessus de $g$ sur tout l’intervalle. $$\begin{aligned} A&=\int_0^2(2x-x^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\ &=4-\frac83=\boxed{\frac43}. \end{aligned}$$ On ne calcule pas $\int f+\int g$ : l’épaisseur verticale de la zone est bien $f-g$.

Correction 7 — 7

On choisit $$u(x)=x,\quad u'(x)=1,\qquad v'(x)=\cos x,\quad v(x)=\sin x.$$ La formule d’intégration par parties donne $$\begin{aligned} K&=\left[x\sin x\right]_0^1-\int_0^1\sin x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=\sin(1)-\left[-\cos x\right]_0^1\\ &=\sin(1)-\bigl(-\cos(1)+1\bigr)\\ &=\boxed{\sin(1)+\cos(1)-1}. \end{aligned}$$ En radians, cette valeur est environ $0{,}3818$, ce qui est positive comme la fonction $x\cos x$ sur $[0,1]$.

Correction 8 — 8

b) La durée vaut $4~\text{s}$, donc la vitesse moyenne est $$v_{\text{moy}}=\frac{20~\text{m}}{4~\text{s}} =\boxed{5~\text{m/s}}.$$

c) À vitesse constante $5~\text{m/s}$ pendant $4~\text{s}$, la distance serait $5\times4=20~\text{m}$, exactement la même. C’est la signification de la vitesse moyenne : elle produit la même distance sur la même durée.

Correction R1

Correction R2

La longueur de l’intervalle vaut $4$. Ainsi $$5\times4\leq\int f\leq7\times4,$$ soit $\boxed{20\leq\int f\leq28}$.

Correction R3

Une intégrale est algébrique : la partie située sous l’axe des abscisses contribue négativement. L’aire géométrique, elle, additionne les surfaces avec des valeurs positives.

Correction R4