Calcul intégral.
Mesurer une accumulation

Fiche 01 / 07

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 12 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic porte seulement sur les prérequis utiles. Écrire « à revoir » est une réponse utile : elle indique par où reprendre.

1. Calculer $\displaystyle\int_0^2 3\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$ en reconnaissant l’aire d’un rectangle.

2. Dériver $F(x)=x^3-2x$. Pourquoi cette dérivée est-elle utile pour calculer une intégrale ?

3. Donner une primitive de $f(x)=2x+1$.

4. Comparer les signes de $\displaystyle\int_0^1 (x+2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$ et de $\displaystyle\int_0^1 (x-2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$.

5. Calculer l’aire d’un triangle de base $4$ cm et de hauteur $3$ cm.

6. Dans une situation où $f(t)$ est un débit en litres par minute, quelles sont les unités de $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t$ ?

Corrections du diagnostic →

Les rappels indispensables

Primitive. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle. Par exemple, $x^2$ est une primitive de $2x$.

Aire de figures usuelles. Un rectangle a pour aire $\text{longueur}\times\text{largeur}$, et un triangle a pour aire $\frac12\times\text{base}\times\text{hauteur}$. Une intégrale généralisera cette idée lorsque le bord supérieur est une courbe.

Unités. Multiplier une hauteur en litres par minute par une durée en minutes donne des litres. L’intégrale garde donc une unité : elle ne donne pas toujours un nombre « sans unité ».

À retenirAvant une intégrale, repérer l’intervalle $[a,b]$, la fonction intégrée, son signe et ses unités. Si une primitive $F$ est connue, le calcul exact se fait par $F(b)-F(a)$.

Fiche 02 / 07

1. L’idée : une aire et une accumulation

Comprendre avant de calculer

Si $f$ est positive sur $[a,b]$, la quantité $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$ représente l’aire située entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$. L’unité est celle d’une largeur multipliée par celle d’une hauteur.

De rectangles à l’intégrale

Sur un petit intervalle de largeur $\Delta x$, la quantité $f(x_i)\Delta x$ est l’aire d’un rectangle qui approche l’aire sous la courbe. En additionnant les rectangles, on obtient une somme : $$\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x_i.$$ Lorsque les rectangles deviennent très fins, cette somme se rapproche de $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$. Cette vision explique le lien entre le discret (une somme) et le continu (une intégrale), sans exiger de construire une limite formelle dans ce cours.

Exemple entièrement détaillé

Pour $f(x)=x^2$ sur $[0,1]$, partageons l’intervalle en quatre bandes de largeur $\Delta x=\frac14$. Les rectangles à gauche donnent $$\begin{aligned} S_{\text{gauche}} &=\frac14\left(0^2+\left(\frac14\right)^2+ \left(\frac12\right)^2+\left(\frac34\right)^2\right)\\ &=\frac14\left(0+\frac1{16}+\frac14+\frac9{16}\right) =\frac{7}{32}\approx 0{,}21875. \end{aligned}$$ Les rectangles à droite donnent $$S_{\text{droite}} =\frac14\left(\frac1{16}+\frac14+\frac9{16}+1\right) =\frac{15}{32}\approx0{,}46875.$$ Comme $x^2$ est croissante, la vraie aire est comprise entre ces deux valeurs. Le calcul exact, vu plus loin, donnera $\displaystyle\int_0^1x^2\,\mathop{}\!\mathrm{d} x=\frac13$, ce qui est bien dans l’encadrement.

À retenirUne somme de rectangles permet d’estimer une intégrale. Pour une fonction croissante, les rectangles à gauche sous-estiment l’aire et ceux à droite la surestiment. Une approximation doit être accompagnée de son unité et, si possible, d’un encadrement.

Fiche 03 / 07

2. Calculer avec une primitive

Le théorème fondamental

Pour une fonction continue $f$ sur un intervalle, on admet qu’elle possède une primitive. Si $F'=f$, alors $$\boxed{\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x=F(b)-F(a) =\left[F(x)\right]_a^b.}$$ La primitive n’est pas unique, car $F+C$ a la même dérivée que $F$, mais la différence $(F(b)+C)-(F(a)+C)$ ne dépend pas de $C$.

Primitives de référence

Les constantes multiplicatives se sortent de l’intégrale : $\displaystyle\int_a^b \lambda f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\lambda\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$.

Exemple entièrement détaillé

Calculons $\displaystyle I=\int_0^2(2x+1)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$.

1. Une primitive de $2x+1$ est $F(x)=x^2+x$, car $F'(x)=2x+1$.

2. On applique la relation primitive–intégrale : $$I=\left[x^2+x\right]_0^2.$$

3. On calcule séparément les deux valeurs : $$F(2)=2^2+2=6,\qquad F(0)=0^2+0=0.$$

4. On soustrait : $$\boxed{I=F(2)-F(0)=6-0=6.}$$

Si $f$ représente une hauteur en mètres et $x$ une longueur en mètres, le résultat est $6~\text{m}^2$. Le nombre 6 est positif, ce qui correspond à une aire sous une courbe positive.

Fonction définie par une intégrale

Si $f$ est continue, la fonction $$F_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t$$ est une primitive de $f$ et vérifie $F_a(a)=0$. La lettre $t$ est une variable intermédiaire : elle évite de confondre la borne variable $x$ et la variable utilisée sous l’intégrale.

Fiche 04 / 07

3. Propriétés, signe et valeur moyenne

Propriétés à connaître

Pour des fonctions intégrables et des nombres adaptés : $$\begin{aligned} \int_a^b (f+g)(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &=\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x+\int_a^b g(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x,\\ \int_a^b \lambda f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x &=\lambda\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x,\\ \int_a^a f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x&=0,\\ \int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x&=-\int_b^a f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x. \end{aligned}$$ La relation de Chasles permet de découper un intervalle : $$\boxed{\displaystyle\int_a^c f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x+\int_b^c f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.}$$ Si $f(x)\geq0$, alors son intégrale est positive. Si $f(x)\leq g(x)$ sur $[a,b]$, alors $$\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq\int_a^b g(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.$$ En particulier, si $m\leq f(x)\leq M$, alors $$m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq M(b-a).$$

Exemple entièrement détaillé

Sur $[1,3]$, on sait que $2\leq f(x)\leq5$. Sans connaître une primitive de $f$, on peut encadrer son intégrale : $$2(3-1)\leq\int_1^3 f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq5(3-1),$$ donc $$\boxed{4\leq\int_1^3 f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\leq10.}$$ Les bornes sont des aires de rectangles. Elles ont les mêmes unités que l’intégrale.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$, avec $a<b$, est $$\boxed{\displaystyle m_f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.}$$ Elle représente la hauteur constante d’un rectangle qui aurait la même aire que la surface sous la courbe. Si $m\leq f\leq M$, alors $m\leq m_f\leq M$.

Exemple entièrement détaillé

Pour $f(x)=2x+1$ sur $[0,2]$, l’intégrale vaut $6$, calculée plus haut. La longueur de l’intervalle vaut $2$. Donc $$m_f=\frac{6}{2}=3.$$ La fonction varie de $1$ à $5$, et sa valeur moyenne $3$ est bien entre ces deux valeurs.

Fiche 05 / 07

4. Intégration par parties et aires entre deux courbes

Intégration par parties

Si $u$ et $v$ sont dérivables et si les intégrales existent : $$\boxed{\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x =\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.}$$ On choisit souvent $u$ comme une fonction qui se simplifie en dérivant, et $v'$ comme une fonction dont une primitive est immédiate.

Exemple entièrement détaillé

Calculons $\displaystyle I=\int_0^1 x e^x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$.

1. On choisit $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, et $v'(x)=e^x$, donc $v(x)=e^x$.

2. La formule donne $$I=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 1\cdot e^x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.$$

3. Le terme de bord vaut $$\left[xe^x\right]_0^1=1\cdot e^1-0\cdot e^0=e.$$

4. La dernière intégrale vaut $$\int_0^1e^x\,\mathop{}\!\mathrm{d} x=\left[e^x\right]_0^1=e-1.$$

5. Ainsi $$\boxed{I=e-(e-1)=1.}$$

Une vérification graphique est possible : sur $[0,1]$, $xe^x$ est positive et sa courbe reste à une hauteur modérée ; une aire égale à 1 est plausible.

Aire entre deux courbes

Si $f(x)\geq g(x)$ sur $[a,b]$, l’aire entre leurs courbes vaut $$\boxed{\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x.}$$ Il faut donc commencer par comparer les courbes. Si elles se croisent, on détermine les abscisses d’intersection et on découpe l’intervalle.

Exemple entièrement détaillé

Sur $[0,1]$, la droite $f(x)=x$ est au-dessus de $g(x)=x^2$, car $x-x^2=x(1-x)\geq0$. L’aire cherchée est $$\begin{aligned} A&=\int_0^1(x-x^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1\\ &=\frac12-\frac13=\boxed{\frac16}. \end{aligned}$$

À retenirPour une aire entre deux courbes, intégrer $\text{courbe du dessus}-\text{courbe du dessous}$. Pour une intégrale calculée par primitive, écrire explicitement $F(b)-F(a)$. Pour une intégration par parties, annoncer $u$, $u'$, $v'$ et $v$ avant d’appliquer la formule.

Fiche 06 / 07

5. Exercices gradués

Consigne générale. Cherche d’abord sans consulter la correction. Chaque exercice indique la compétence travaillée. Les indices donnent une direction, pas le résultat complet. Les corrections sont dans le fascicule séparé et reprennent exactement les numéros.

Fiche 07 / 07

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

Erreurs fréquentes

• Écrire $F(b)+F(a)$ au lieu de $F(b)-F(a)$.

• Oublier de vérifier le signe de la fonction avant d’appeler l’intégrale une aire géométrique.

• Intégrer la mauvaise différence entre deux courbes.

• Diviser par $b-a$ alors que l’on cherche l’intégrale, ou oublier cette division lorsqu’on cherche la valeur moyenne.

• Perdre les unités : un débit intégré sur une durée donne un volume.

• Appliquer l’intégration par parties sans préciser le choix de $u$ et $v'$.

Auto-évaluation

Cocher une phrase après la séance :

Rappel différé

R1. Sans calculatrice, calculer $\displaystyle\int_0^1(3x^2+2)\,\mathop{}\!\mathrm{d} x$.

R2. Une fonction est comprise entre $5$ et $7$ sur un intervalle de longueur $4$. Donner un encadrement de son intégrale.

R3. Expliquer en une phrase pourquoi une intégrale peut être négative alors qu’une aire géométrique est positive.

R4. Pour une vitesse en kilomètres par heure intégrée sur une durée en heures, quelle est l’unité du résultat ?

En cas de blocage. Reprendre dans cet ordre : primitive, bornes, signe, unités, puis calcul. Une solution partielle qui identifie la primitive ou la fonction du dessus est déjà une étape exploitable.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.