Corrections expliquées.
Schéma de Bernoulli.

Correction D1

L’événement contraire de $A$ est $\overline A$, donc $$\mathbb{P}(\overline A)=1-\mathbb{P}(A)=1-0{,}3=\boxed{0{,}7}.$$ $\overline A$ signifie que $A$ ne se réalise pas.

Correction D2

Les épreuves sont indépendantes, donc on multiplie les probabilités des deux succès : $$\mathbb{P}(\text{deux succès})=0{,}8\times0{,}7=\boxed{0{,}56}.$$

Correction D3

Les issues sont les couples $$(P,P),\quad(P,F),\quad(F,P),\quad(F,F).$$ Le premier symbole décrit le premier lancer et le second le deuxième lancer.

Correction D4

Correction D5

Dans cinq essais indépendants, $0{,}9^4\times0{,}1$ est la probabilité d’un chemin précis comportant quatre succès de probabilité $0{,}9$ et un échec de probabilité $0{,}1$. Cela ne compte pas les différents ordres possibles. Pour « exactement quatre succès », il faudrait multiplier encore par $\binom54=5$.

Correction D6

Le contraire d’« au moins un succès » est « aucun succès ». Un échec a probabilité $0{,}8$, donc $$\mathbb{P}(\text{au moins un succès}) =1-(0{,}8)^3 =1-0{,}512 =\boxed{0{,}488}.$$

Correction 1 — 1

Un tir échoue avec probabilité $1-0{,}7=0{,}3$. Le contraire de « réussir au moins un tir » est « échouer les deux tirs ». L’indépendance donne $$\mathbb{P}(\text{aucun succès})=0{,}3^2=0{,}09.$$ Donc $$\mathbb{P}(\text{au moins un succès})=1-0{,}09=\boxed{0{,}91}.$$

Correction 2 — 2

Notons $C_A$ et $C_B$ les conformités.

Deux pièces conformes. $$\mathbb{P}(C_A\cap C_B)=0{,}9\times0{,}8=\boxed{0{,}72}.$$

Une seule pièce conforme. Les deux chemins disjoints sont $(C_A,\overline C_B)$ et $(\overline C_A,C_B)$ : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(\text{une seule}) &=0{,}9\times0{,}2+0{,}1\times0{,}8\\ &=0{,}18+0{,}08=\boxed{0{,}26}. \end{aligned}$$

Correction 3 — 3

b) $X$ est le nombre de six obtenus lors des cinq lancers.

c) Chaque lancer a deux catégories utiles, « six » ou « pas six », la probabilité $p$ est constante et les lancers sont indépendants. Donc $$\boxed{X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac16\right)}.$$

Correction 4 — 4

Dans $\mathcal{B}(6,0{,}3)$, la formule donne $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X=2) &=\binom62(0{,}3)^2(0{,}7)^4\\ &=15\times0{,}09\times0{,}2401\\ &=\boxed{0{,}324135}. \end{aligned}$$ Le facteur $15$ compte les positions possibles des deux succès.

Correction 5 — 5

Pour $X\sim\mathcal{B}(5,0{,}4)$, le complément d’un seul succès ou moins est « au moins deux succès ». $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X\leq1) &=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\\ &=(0{,}6)^5+\binom51(0{,}4)(0{,}6)^4\\ &=0{,}07776+0{,}2592\\ &=\boxed{0{,}33696}. \end{aligned}$$ Par complément : $$\boxed{\mathbb{P}(X\geq2)=1-0{,}33696=0{,}66304}.$$

Correction 6 — 6

On calcule les probabilités cumulées autour du seuil : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X\geq8) &=\binom{10}{8}(0{,}6)^8(0{,}4)^2 +\binom{10}{9}(0{,}6)^9(0{,}4) +(0{,}6)^{10}\\ &\approx0{,}1673\leq0{,}2. \end{aligned}$$ Pour le rang précédent, $$\mathbb{P}(X\geq7)\approx0{,}3823>0{,}2.$$ Le premier rang qui convient est donc $$\boxed{k=8}.$$ Tester $k=7$ est indispensable : cela justifie que le seuil est le plus petit, et pas seulement qu’il fonctionne.

Correction 7 — 7

La fonction simule $8$ épreuves de Bernoulli dont la probabilité de succès est $0{,}25$, puis renvoie le nombre de succès obtenu dans cette réalisation. La valeur est donc un entier de $0$ à $8$, pas le nombre $0{,}25$ et pas une probabilité.

Deux exécutions peuvent donner des valeurs différentes parce que la fonction utilise un tirage aléatoire à chaque essai. Sur un grand nombre d’exécutions, la fréquence moyenne des succès devrait se rapprocher de $0{,}25$, sans être égale à cette valeur à chaque exécution.

Correction 8 — 8

b) « Au moins neuf » signifie $X=9$ ou $X=10$ : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X\geq9) &=\binom{10}{9}(0{,}95)^9(0{,}05)+(0{,}95)^{10}\\ &\approx0{,}3151247+0{,}5987369\\ &\approx\boxed{0{,}9138616}. \end{aligned}$$

c) En pourcentage, cela donne environ $$0{,}9138616\times100=\boxed{91{,}39\ \%}.$$ Le modèle prévoit donc un peu plus de neuf chances sur dix d’avoir au moins neuf traitements corrects.

Correction R1

Correction R2

Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités successives. Entre plusieurs chemins disjoints qui répondent à la même question, on additionne les probabilités obtenues.

Correction R3

Les événements $X=0$ et $X\geq1$ sont contraires et couvrent tous les cas. Par conséquent, $$\mathbb{P}(X\geq1)=1-\mathbb{P}(X=0).$$

Correction R4

Une simulation ne remplace pas un calcul exact parce qu’elle dépend du hasard et qu’elle ne porte que sur un nombre fini d’essais. Elle donne une estimation expérimentale, qui peut varier d’une exécution à l’autre.