Schéma de Bernoulli.
Répéter une épreuve simple pour compte

Fiche 01 / 06

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 12 minutes, sans calculatrice. Les réponses détaillées se trouvent dans le fascicule séparé. Tu peux noter « à revoir » sans interrompre la suite.

1. Un événement $A$ a une probabilité $0{,}3$. Calculer $\mathbb{P}(\overline A)$ et expliquer ce que représente $\overline A$.

2. Deux épreuves indépendantes ont des probabilités de succès $0{,}8$ et $0{,}7$. Calculer la probabilité d’obtenir deux succès.

3. Une pièce équilibrée est lancée deux fois. Écrire les quatre issues possibles avec les lettres $P$ et $F$.

4. Calculer $\binom{5}{2}$. Que compte ce nombre ?

5. Dans une répétition de cinq essais, que signifie $0{,}9^4\times0{,}1$ ?

6. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un succès en trois essais indépendants de probabilité de succès $0{,}2$.

Corrections du diagnostic →

Rappels ciblés

Événement contraire. $\overline A$ signifie « $A$ ne se réalise pas ». Les événements $A$ et $\overline A$ couvrent toutes les possibilités, donc $\mathbb{P}(\overline A)=1-\mathbb{P}(A)$.

Probabilité conditionnelle. La notation $\mathbb{P}_A(B)$, ou $\mathbb{P}(B\mid A)$, signifie la probabilité de $B$ lorsque l’on sait que $A$ est réalisé. Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin et on additionne les chemins qui répondent à la question.

Coefficient binomial. $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir $k$ positions parmi $n$, sans ordre. Il vaut $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

À retenirDans un arbre, on multiplie le long d’une branche et on additionne les branches disjointes. Pour utiliser une loi binomiale, vérifier quatre points : $n$ essais, deux issues par essai, même probabilité $p$ de succès, et indépendance.

Fiche 02 / 06

1. Succession d’épreuves indépendantes

Le modèle

Une épreuve possède un ensemble d’issues possibles. Une succession de $n$ épreuves a pour issue un $n$-uplet $(x_1,\ldots,x_n)$. Les épreuves sont indépendantes lorsque la réalisation des précédentes ne modifie pas les probabilités de la suivante.

Dans ce cas, la probabilité d’un chemin est le produit : $$\mathbb{P}(x_1,\ldots,x_n) =\mathbb{P}(x_1)\times\mathbb{P}(x_2)\times\cdots\times\mathbb{P}(x_n).$$ Le produit cartésien permet de décrire toutes les issues : $E_1\times E_2$ est l’ensemble des couples $(x_1,x_2)$ avec $x_1\in E_1$ et $x_2\in E_2$.

Exemple entièrement détaillé

Une application est réussie avec probabilité $0{,}8$, et une seconde application indépendante est réussie avec probabilité $0{,}6$. Notons $S$ un succès.

1. Deux succès correspondent au chemin $S,S$. Sa probabilité est $$\mathbb{P}(S,S)=0{,}8\times0{,}6=0{,}48.$$

2. Un seul succès correspond aux deux chemins $(S,E)$ et $(E,S)$. $$\begin{aligned} \mathbb{P}(\text{un seul succès}) &=0{,}8\times0{,}4+0{,}2\times0{,}6\\ &=0{,}32+0{,}12=0{,}44. \end{aligned}$$

3. Au moins un succès est le contraire de deux échecs : $$\mathbb{P}(\text{au moins un succès}) =1-0{,}2\times0{,}4=\boxed{0{,}92}.$$

Ne pas confondre indépendance et incompatibilité

Deux événements indépendants peuvent être réalisés en même temps : $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$. Deux événements incompatibles ne peuvent pas être réalisés ensemble : $\mathbb{P}(A\cap B)=0$. Ils ne sont généralement pas indépendants, sauf cas particulier.

Fiche 03 / 06

2. Épreuve et loi de Bernoulli

Une seule épreuve

Une épreuve de Bernoulli ne possède que deux issues :

• le succès, de probabilité $p$ ;

• l’échec, de probabilité $1-p$.

Le nombre $p$ vérifie $0\leq p\leq1$. La variable aléatoire $Y$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, notée parfois $\mathcal{B}(1,p)$.

Le schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, ayant toutes la même probabilité $p$ de succès. On note $X$ le nombre total de succès.

Pour obtenir exactement $k$ succès :

1. on choisit les $k$ positions des succès : $\binom{n}{k}$ choix ;

2. chaque chemin a la probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ ;

3. les chemins sont disjoints, donc on additionne leurs probabilités.

Ainsi, pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, $$\boxed{\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.}$$ On écrit $X\sim\mathcal{B}(n,p)$. La variable $X$ ne peut prendre que les valeurs entières de $0$ à $n$.

Exemple entièrement détaillé

Un contrôle détecte une anomalie avec probabilité $p=0{,}8$, et les contrôles sont indépendants. Sur $n=4$ contrôles, $X$ est le nombre d’anomalies détectées et $X\sim\mathcal{B}(4,0{,}8)$.

Exactement trois. Il faut choisir les trois contrôles concernés : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X=3) &=\binom43(0{,}8)^3(0{,}2)^1\\ &=4\times0{,}512\times0{,}2\\ &=\boxed{0{,}4096}. \end{aligned}$$

Au moins trois. Les cas $X=3$ et $X=4$ sont disjoints : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X\geq3) &=\mathbb{P}(X=3)+\mathbb{P}(X=4)\\ &=0{,}4096+(0{,}8)^4\\ &=0{,}4096+0{,}4096\\ &=\boxed{0{,}8192}. \end{aligned}$$

Fiche 04 / 06

3. Probabilités cumulées et problèmes de seuil

Traduire les mots

Pour une variable binomiale $X$ : $$\begin{aligned} \mathbb{P}(X\leq k)&=\mathbb{P}(X=0)+\cdots+\mathbb{P}(X=k),\\ \mathbb{P}(X\geq k)&=\mathbb{P}(X=k)+\cdots+\mathbb{P}(X=n),\\ \mathbb{P}(X>k)&=1-\mathbb{P}(X\leq k),\\ \mathbb{P}(a\leq X\leq b)&=\sum_{k=a}^{b}\mathbb{P}(X=k). \end{aligned}$$ La valeur de $k$ doit être un entier. « Au moins 4 » signifie $X\geq4$, et non $X>4$. « Plus de 4 » signifie $X\geq5$.

Calculatrice et algorithme

Une calculatrice peut fournir les probabilités cumulées, mais la modélisation doit être écrite : $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, puis l’événement traduit. Un algorithme peut additionner les termes :

from math import comb

def proba_binomiale(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)

def proba_au_moins(n, p, k):
    total = 0
    for j in range(k, n+1):
        total = total + proba_binomiale(n, p, j)
    return total

La boucle commence à $k$ et va jusqu’à $n$. Une autre méthode consiste à calculer le complément si la somme demandée comporte beaucoup de termes.

Simulation

Pour simuler une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, on tire un nombre au hasard entre $0$ et $1$ et on considère un succès lorsqu’il est strictement inférieur à $p$. En répétant cette opération, on obtient une approximation expérimentale, pas une preuve.

from random import random

def nombre_de_succes(n, p):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes

À retenirLa formule binomiale comporte trois éléments : le nombre de choix $\binom{n}{k}$, la probabilité $p^k$ des succès et la probabilité $(1-p)^{n-k}$ des échecs. Commencer par écrire l’événement avec des mots, par exemple « au moins trois », avant de choisir une somme ou un complément.

Fiche 05 / 06

4. Exercices gradués

Les corrections détaillées sont dans le fascicule séparé. Essaie d’abord, puis utilise l’indice si nécessaire.

Fiche 06 / 06

Bilan et rappel différé

Erreurs fréquentes

• Utiliser une loi binomiale sans vérifier l’indépendance ou la même probabilité de succès.

• Confondre « au moins $k$ » ($X\geq k$) et « plus de $k$ » ($X>k$).

• Oublier $\binom{n}{k}$ et ne compter qu’un seul ordre des succès.

• Multiplier des chemins qui doivent être additionnés, ou additionner des étapes qui doivent être multipliées.

• Présenter une simulation comme une valeur exacte.

Auto-évaluation

Rappel différé

R1. Si $X\sim\mathcal{B}(4,0{,}5)$, écrire sans calculer $\mathbb{P}(X=3)$.

R2. Dans une situation indépendante, que fait-on le long d’un chemin d’arbre ? Et entre plusieurs chemins disjoints ?

R3. Expliquer pourquoi $\mathbb{P}(X\geq1)=1-\mathbb{P}(X=0)$.

R4. Donner deux raisons pour lesquelles une simulation ne remplace pas le calcul d’une probabilité.

En cas de blocage. Revenir à la phrase : « une épreuve, un succès, un échec, $n$ répétitions indépendantes ». Puis traduire l’événement avant de toucher à la calculatrice.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.