Corrections expliquées.
Sommes de variables aléatoires.

Correction D1

Correction D2

La formule est $$\mathop{\mathrm V}(X)=\mathbb{E}\bigl((X-\mathbb{E}(X))^2\bigr) =\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2.$$ La seconde écriture est souvent plus rapide pour un tableau de valeurs.

Correction D3

Par linéarité : $$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(2X+5)=2\mathbb{E}(X)+5.$$ Le nombre $5$ est une constante : il s’ajoute à l’espérance.

Correction D4

Correction D5

Les variables sont indépendantes, donc les variances s’additionnent : $$\mathop{\mathrm V}(X+Y)=\mathop{\mathrm V}(X)+\mathop{\mathrm V}(Y)=4+7=\boxed{11}.$$

Correction D6

Chaque $I_i$ vaut $1$ exactement lorsqu’il y a un succès. Dans la somme, chaque succès contribue $1$ et chaque échec contribue $0$. Ainsi $$I_1+I_2+I_3+I_4+I_5$$ est le nombre total de succès.

Correction 1 — 1

On multiplie chaque valeur par sa probabilité : $$\mathbb{E}(X)=1\times0{,}2+3\times0{,}8 =0{,}2+2{,}4=\boxed{2{,}6}.$$ La valeur $3$ pèse davantage dans la moyenne car elle est plus probable.

Correction 2 — 2

On utilise la linéarité : $$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(3X-2)=3\mathbb{E}(X)-2=3\times4-2=\boxed{10}.$$ Il n’était pas nécessaire de connaître toute la loi de $X$.

Correction 3 — 3

On définit $$I_i= \begin{cases} 1&\text{si le \(i\)-ième essai est un succès},\\ 0&\text{sinon}. \end{cases}$$ Le nombre de succès est $X=I_1+I_2$. Pour chaque indicatrice, $\mathbb{E}(I_i)=0{,}4$, donc $$\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(I_1)+\mathbb{E}(I_2)=0{,}4+0{,}4=\boxed{0{,}8}.$$

Correction 4 — 4

La formule de changement d’échelle donne $$\mathop{\mathrm V}(2X+7)=2^2\mathop{\mathrm V}(X)=4\times5=\boxed{20}.$$ La constante $7$ ne modifie pas les écarts entre les valeurs. Si $\sigma(X)=\sqrt5$, alors $$\sigma(2X+7)=\left\lvert \right\rvert2\,\sigma(X)=\boxed{2\sqrt5}.$$

Correction 5 — 5

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $$\mathbb{E}(X)=np,\qquad \mathop{\mathrm V}(X)=np(1-p).$$ Ici $n=12$ et $p=0{,}25$, donc $$\mathbb{E}(X)=12\times0{,}25=\boxed{3},$$ $$\mathop{\mathrm V}(X)=12\times0{,}25\times0{,}75=\boxed{2{,}25},$$ et $$\sigma(X)=\sqrt{2{,}25}=\boxed{1{,}5}.$$

Correction 6 — 6

Pour un dé, $\mathbb{E}(X)=7/2$ et $\mathop{\mathrm V}(X)=35/12$. Si $T=X+Y$ est la somme des deux dés : $$\mathbb{E}(T)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)=\frac72+\frac72=\boxed{7}.$$ Les lancers sont indépendants, donc $$\mathop{\mathrm V}(T)=\mathop{\mathrm V}(X)+\mathop{\mathrm V}(Y) =\frac{35}{12}+\frac{35}{12} =\boxed{\frac{35}{6}}.$$

Correction 7 — 7

La variable demandée est la moyenne. Sa formule est $$\mathbb{E}(M_n)=\mu,\qquad \sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$ Avec $\mu=12$, $\sigma=3$ et $n=36$ : $$\mathbb{E}(M_{36})=\boxed{12}, \qquad \sigma(M_{36})=\frac3{\sqrt{36}}=\boxed{0{,}5}.$$ La moyenne reste centrée autour de $12$, mais ses fluctuations typiques sont plus petites que celles d’une mesure isolée.

Correction 8 — 8

Le coût total est $$T=2+X_1+\cdots+X_5.$$

a) Par linéarité : $$\mathbb{E}(T)=2+5\times8=\boxed{42\ \text{euros}}.$$

b) La constante ne contribue pas à la variance. Les cinq coûts sont indépendants, donc $$\mathop{\mathrm V}(T)=5\times1{,}44=\boxed{7{,}2\ \text{euros}^2}.$$ L’écart type est $$\sigma(T)=\sqrt{7{,}2}\approx\boxed{2{,}68\ \text{euros}}.$$

c) Ajouter $2$ déplace chaque coût total de $2$ euros, donc augmente l’espérance. Les écarts à la moyenne restent identiques, donc la variance et l’écart type ne changent pas.

Correction R1

Correction R2

Correction R3

Pour un échantillon de taille $n$, l’écart type de la moyenne est $$\boxed{\sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n}}.$$ Il diminue, mais il n’est pas nul pour une taille finie.

Correction R4

On introduit une indicatrice par essai. Elle vaut $1$ pour un succès et $0$ pour un échec. La somme des indicatrices compte donc exactement les succès : $$X=I_1+\cdots+I_n.$$