Sommes de variables aléatoires.
Additionner des résultats aléatoires s

Fiche 01 / 07

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 12 minutes, sans calculatrice. Le diagnostic sert à choisir le bon rappel, pas à attribuer une note.

1. Une variable $X$ prend $1$ avec probabilité $0{,}4$ et $3$ avec probabilité $0{,}6$. Calculer $\mathbb{E}(X)$.

2. Rappeler la formule de la variance $\mathop{\mathrm V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$.

3. Si $Y=2X+5$, quelle relation relie $\mathbb{E}(Y)$ à $\mathbb{E}(X)$ ?

4. Si $\mathop{\mathrm V}(X)=9$, quel est l’écart type de $X$ ?

5. Deux variables indépendantes vérifient $\mathop{\mathrm V}(X)=4$ et $\mathop{\mathrm V}(Y)=7$. Calculer $\mathop{\mathrm V}(X+Y)$.

6. Dans cinq essais de Bernoulli, $I_i$ vaut $1$ si le $i$-ième essai est un succès et $0$ sinon. Que représente $I_1+\cdots+I_5$ ?

Corrections du diagnostic →

Rappels ciblés

L’espérance est une moyenne pondérée des valeurs possibles : $$\mathbb{E}(X)=\sum_x x\,\mathbb{P}(X=x).$$ La variance mesure la dispersion autour de l’espérance : $$\mathop{\mathrm V}(X)=\mathbb{E}\bigl((X-\mathbb{E}(X))^2\bigr) =\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2.$$ L’écart type est $\sigma(X)=\sqrt{\mathop{\mathrm V}(X)}$, dans la même unité que $X$.

À retenirPour une somme, l’espérance s’additionne toujours. La variance s’additionne pour des variables indépendantes, hypothèse à repérer dans l’énoncé. Un facteur $a$ multiplie l’espérance par $a$, mais la variance par $a^2$.

Fiche 02 / 07

1. Espérance et variables indicatrices

Pourquoi décomposer une variable ?

Une variable compliquée peut souvent être écrite comme une somme de petites variables. Dans un schéma de Bernoulli, on définit $I_i$ par $$I_i= \begin{cases} 1&\text{si le \(i\)-ième essai est un succès},\\ 0&\text{sinon}. \end{cases}$$ Le nombre total de succès est alors $$X=I_1+I_2+\cdots+I_n.$$ Cette écriture est utile même si l’on ne calcule pas toute la loi de $X$.

Linéarité de l’espérance

Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$, et un réel $a$, $$\boxed{\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)},\qquad \boxed{\mathbb{E}(aX)=a\mathbb{E}(X)}.$$ Plus généralement, $\mathbb{E}(aX+bY+c)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)+c$. Aucune indépendance n’est nécessaire pour ces relations.

Exemple entièrement détaillé

Un jeu comporte deux gains aléatoires $X$ et $Y$, avec $\mathbb{E}(X)=4$ euros et $\mathbb{E}(Y)=-1{,}5$ euro. Le gain total est $T=X+Y$.

1. On reconnaît une somme, donc $$\mathbb{E}(T)=\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)=4+(-1{,}5)=\boxed{2{,}5\ \text{euros}}.$$

2. Si le joueur reçoit en plus une prime fixe de $3$ euros, le nouveau gain est $T'=T+3$. Ainsi $$\mathbb{E}(T')=\mathbb{E}(T)+3=2{,}5+3=\boxed{5{,}5\ \text{euros}}.$$

L’espérance ne signifie pas que le joueur gagnera exactement $2{,}5$ euros à une partie donnée. Elle décrit la moyenne à long terme du modèle.

Espérance d’une indicatrice

Si $I$ vaut $1$ avec probabilité $p$ et $0$ avec probabilité $1-p$, $$\mathbb{E}(I)=0(1-p)+1p=p.$$ Pour $X=I_1+\cdots+I_n$, avec des succès de probabilité $p$, $$\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(I_1)+\cdots+\mathbb{E}(I_n)=np.$$

Fiche 03 / 07

2. Variance et écart type

Transformations

Pour un réel $a$ et une constante $b$ : $$\boxed{\mathop{\mathrm V}(aX+b)=a^2\mathop{\mathrm V}(X)},\qquad \boxed{\sigma(aX+b)=\left\lvert a\right\rvert\,\sigma(X)}.$$ Ajouter une constante déplace toutes les valeurs mais ne change pas leur dispersion. Multiplier par $a$ agrandit les écarts ; c’est pourquoi le carré apparaît dans la variance.

Variance d’une somme indépendante

Dans le cadre d’une succession d’épreuves indépendantes, si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $$\boxed{\mathop{\mathrm V}(X+Y)=\mathop{\mathrm V}(X)+\mathop{\mathrm V}(Y).}$$ De même, pour $aX+bY$ : $$\mathop{\mathrm V}(aX+bY)=a^2\mathop{\mathrm V}(X)+b^2\mathop{\mathrm V}(Y)$$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes. Cette propriété ne se transpose pas automatiquement à des variables dépendantes.

Exemple entièrement détaillé

On lance deux dés équilibrés indépendants. $X$ est le résultat du premier dé et $Y$ celui du second. Pour un dé : $$\mathbb{E}(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72,$$ et $$\mathop{\mathrm V}(X)=\frac{1^2+2^2+\cdots+6^2}{6} -\left(\frac72\right)^2 =\frac{35}{12}.$$ Le total $T=X+Y$ vérifie donc $$\mathbb{E}(T)=\frac72+\frac72=\boxed{7},$$ et, grâce à l’indépendance, $$\mathop{\mathrm V}(T)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12} =\boxed{\frac{35}{6}}.$$ Son écart type vaut $$\sigma(T)=\sqrt{\frac{35}{6}}\approx2{,}42.$$ Le total est centré autour de $7$, mais il fluctue autour de cette moyenne.

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3. Application à la loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli, $X=I_1+\cdots+I_n$, où chaque indicatrice vaut $1$ avec probabilité $p$ et les $I_i$ sont indépendantes.

Pour une indicatrice $I_i$ : $$\mathbb{E}(I_i)=p,\qquad \mathop{\mathrm V}(I_i)=\mathbb{E}(I_i^2)-\mathbb{E}(I_i)^2=p-p^2=p(1-p).$$ Par linéarité et additivité : $$\boxed{\mathbb{E}(X)=np},\qquad \boxed{\mathop{\mathrm V}(X)=np(1-p)},\qquad \boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.$$

Exemple entièrement détaillé

Dans un schéma $\mathcal{B}(5,0{,}3)$, $X$ compte les succès.

1. L’espérance est $$\mathbb{E}(X)=5\times0{,}3=\boxed{1{,}5}.$$

2. La variance est $$\mathop{\mathrm V}(X)=5\times0{,}3\times0{,}7=\boxed{1{,}05}.$$

3. L’écart type est $$\sigma(X)=\sqrt{1{,}05}\approx\boxed{1{,}025}.$$

Le nombre moyen de succès est $1{,}5$, même si le nombre observé est toujours un entier.

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4. Échantillon : somme et moyenne

Définitions

Un échantillon de taille $n$ d’une loi est une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables indépendantes qui suivent toutes cette même loi. On définit la somme $$S_n=X_1+\cdots+X_n$$ et la moyenne $$M_n=\frac{S_n}{n}.$$ Si chaque $X_i$ a une espérance $\mu$, une variance $V$ et un écart type $\sigma$, alors $$\boxed{\mathbb{E}(S_n)=n\mu},\qquad \boxed{\mathop{\mathrm V}(S_n)=nV},\qquad \boxed{\sigma(S_n)=\sqrt n\,\sigma}.$$ Pour la moyenne : $$\boxed{\mathbb{E}(M_n)=\mu},\qquad \boxed{\mathop{\mathrm V}(M_n)=\frac{V}{n}},\qquad \boxed{\sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n}}.$$ La moyenne reste centrée autour de $\mu$, mais son écart type diminue avec $n$. Cette diminution prépare la loi des grands nombres.

Exemple entièrement détaillé

Le temps de réponse $X$ d’une requête a une espérance de $20$ ms et un écart type de $4$ ms. On observe un échantillon indépendant de $100$ requêtes.

$$\mathbb{E}(S_{100})=100\times20=\boxed{2000\ \text{ms}}, \qquad \sigma(S_{100})=\sqrt{100}\times4=\boxed{40\ \text{ms}}.$$ Pour le temps moyen : $$\mathbb{E}(M_{100})=20~\text{ms},\qquad \sigma(M_{100})=\frac4{\sqrt{100}} =\boxed{0{,}4~\text{ms}}.$$ La moyenne n’est pas forcément exactement $20$ ms, mais elle est moins dispersée que le temps d’une requête.

À retenirPour une somme, additionner les espérances. Pour la variance, additionner les variances seulement lorsque l’indépendance est disponible. Pour une moyenne de $n$ observations, l’espérance ne change pas et l’écart type est divisé par $\sqrt n$.

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5. Exercices gradués

Les corrections détaillées sont dans le fascicule séparé.

Fiche 07 / 07

Bilan et rappel différé

Erreurs fréquentes

• Diviser l’espérance d’une somme par $n$ : c’est la moyenne, pas la somme.

• Écrire $\mathop{\mathrm V}(X+Y)=\mathop{\mathrm V}(X)+\mathop{\mathrm V}(Y)$ sans hypothèse d’indépendance.

• Oublier le carré dans $\mathop{\mathrm V}(aX)=a^2\mathop{\mathrm V}(X)$.

• Confondre variance et écart type : l’écart type est la racine de la variance.

• Dire que $\mathbb{E}(X)=12$ signifie que $X=12$ à chaque observation.

Auto-évaluation

Rappel différé

R1. Si $\mathbb{E}(X)=5$, calculer $\mathbb{E}(4X-1)$.

R2. Si $\mathop{\mathrm V}(X)=9$, calculer $\sigma(X)$ et $\mathop{\mathrm V}(3X)$.

R3. Pour un échantillon de taille $n$, que devient l’écart type de la moyenne ?

R4. Dans un schéma $\mathcal{B}(n,p)$, pourquoi le nombre de succès est-il une somme de variables plus simples ?

En cas de blocage. Écrire d’abord la variable demandée sous forme de somme ou de transformation affine. Ensuite seulement choisir la formule d’espérance, de variance ou d’écart type.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.