Corrections expliquées.
Concentration.

Correction D1

Pour une Bernoulli de paramètre $p$, $$\mathbb{E}(X)=p=0{,}4,\qquad \mathop{\mathrm V}(X)=p(1-p)=0{,}4\times0{,}6=\boxed{0{,}24}.$$

Correction D2

Correction D3

La moyenne d’un échantillon de taille $n$ a pour écart type $$\boxed{\sigma(M_n)=\frac5{\sqrt n}}.$$ La division par $\sqrt n$, et non par $n$, vient de la variance $\mathop{\mathrm V}(M_n)=V/n$.

Correction D4

Correction D5

La borne de concentration doit être au plus $\alpha$ : $$\frac{0{,}24}{n(0{,}05)^2}\leq0{,}05.$$ On devra donc obtenir une condition de la forme $$n\geq\frac{0{,}24}{0{,}05(0{,}05)^2}.$$

Correction D6

Non. La phrase décrit une probabilité associée au modèle. Une réalisation particulière de $M_n$ peut être proche de $\mu$, mais aussi s’en écarter. Une probabilité élevée n’est pas une certitude.

Correction 1 — 1

Avec $\mu=10$, $V=4$ et $\delta=5$ : $$\mathbb{P}(\left\lvert X-10\right\rvert\geq5) \leq\frac4{5^2}=\boxed{\frac4{25}=0{,}16}.$$ En passant à l’événement contraire : $$\mathbb{P}(\left\lvert X-10\right\rvert<5)\geq1-\frac4{25} =\boxed{\frac{21}{25}=0{,}84}.$$

Correction 2 — 2

Pour une Bernoulli de paramètre $0{,}2$, $$V=0{,}2\times0{,}8=0{,}16.$$ Avec $n=400$ et $\delta=0{,}1$, $$\mathbb{P}(\left\lvert M_{400}-0{,}2\right\rvert\geq0{,}1) \leq\frac{0{,}16}{400(0{,}1)^2} =\frac{0{,}16}{4} =\boxed{0{,}04}.$$

Correction 3 — 3

On résout $$\frac9{n(0{,}5)^2}\leq0{,}1.$$ Comme $(0{,}5)^2=0{,}25$, $$\frac9{0{,}25n}=\frac{36}{n}\leq0{,}1.$$ Il faut donc $n\geq360$. La taille entière minimale fournie par la méthode est $\boxed{n=360}$.

Correction 4 — 4

b) Cette phrase porte sur une réalisation particulière et affirme directement que l’écart observé est inférieur à $0{,}02$. La phrase a) ne garantit pas b) pour chaque échantillon.

Correction 5 — 5

On prend $\delta=2\sigma$ et $V=\sigma^2$. Alors $$\mathbb{P}(\left\lvert X-\mu\right\rvert\geq2\sigma) \leq\frac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} =\frac{\sigma^2}{4\sigma^2} =\boxed{\frac14}.$$ Le complément donne $$\mathbb{P}(\left\lvert X-\mu\right\rvert<2\sigma)\geq\boxed{\frac34}.$$ Cette borne est universelle ; elle peut être moins précise que ce qu’une loi particulière permettrait d’obtenir.

Correction 6 — 6

La simulation produit $1000$ valeurs de la moyenne $M_{100}$. Pour une valeur choisie de $\delta$, on peut calculer la proportion observée des échantillons vérifiant $$\left\lvert M_{100}-0{,}5\right\rvert\geq\delta$$ et la comparer à la borne théorique $$\frac{V}{100\delta^2} \quad\text{avec}\quad V=0{,}5\times0{,}5=0{,}25.$$ Les valeurs ne sont pas identiques car la simulation porte sur un nombre fini de réalisations et dépend du hasard, tandis que la formule donne une majoration théorique.

Correction 7 — 7

b) La précision demandée est $0{,}03$. L’événement central est $$\left\lvert M_n-0{,}35\right\rvert<0{,}03,$$ soit $0{,}32<M_n<0{,}38$. La borne garantit que cet événement a une probabilité d’au moins $0{,}95$.

Correction R1

Correction R2

Correction R3

La borne $$\frac{V}{n\delta^2}$$ est divisée par $2$ lorsque $n$ double, toutes les autres quantités étant fixées.

Correction R4

Pour tout $\delta>0$, $$\boxed{\mathbb{P}(\left\lvert M_n-\mu\right\rvert<\delta)\longrightarrow1 \quad\text{lorsque }n\longrightarrow+\infty.}$$