Concentration.
Comprendre pourquoi une moyenne devien

Fiche 01 / 06

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 12 minutes, sans calculatrice. Ce diagnostic vérifie les outils nécessaires avant d’utiliser des inégalités de probabilité.

1. Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès $p=0{,}4$. Donner son espérance et sa variance.

2. Si $\mathop{\mathrm V}(X)=0{,}24$, calculer son écart type sous forme exacte.

3. Pour une moyenne $M_n$ de $n$ observations d’écart type $5$, quelle est la formule de $\sigma(M_n)$ ?

4. Traduire en français l’événement $\left\lvert X-\mu\right\rvert\geq\delta$.

5. Avec $V=0{,}24$, $\delta=0{,}05$ et un risque maximal $\alpha=0{,}05$, quelle inégalité doit vérifier $n$ ?

6. La phrase « la moyenne est proche de l’espérance » signifie-t-elle qu’elle lui est égale à chaque échantillon ?

Corrections du diagnostic →

Rappels ciblés

L’espérance $\mu$ indique le centre du modèle. La variance $V$ mesure la dispersion au carré et l’écart type $\sigma=\sqrt V$ mesure une dispersion dans la même unité que la variable.

Pour un échantillon indépendant de taille $n$, la moyenne $M_n$ vérifie $$\mathbb{E}(M_n)=\mu,\qquad \mathop{\mathrm V}(M_n)=\frac{V}{n},\qquad \sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

À retenirL’écart type est l’unité naturelle pour mesurer un écart autour de la moyenne. Dans une moyenne d’échantillon, la variance est divisée par $n$ et l’écart type par $\sqrt n$, pas par $n$.

Fiche 02 / 06

1. Mesurer un écart et une dispersion

L’écart autour de l’espérance

Pour une variable aléatoire $X$, l’écart $X-\mu$ compare une réalisation à l’espérance $\mu=\mathbb{E}(X)$. Comme cet écart peut être positif ou négatif, on utilise sa valeur absolue $\left\lvert X-\mu\right\rvert$.

Pour un nombre $\delta>0$, l’événement $$\left\lvert X-\mu\right\rvert\geq\delta$$ signifie que la valeur observée est à une distance au moins $\delta$ de l’espérance. Son contraire est $\left\lvert X-\mu\right\rvert<\delta$, c’est-à-dire $\mu-\delta<X<\mu+\delta$.

Une borne universelle

L’inégalité de Bienaymé–Tchebychev affirme que, pour toute variable aléatoire $X$ d’espérance $\mu$, de variance $V$, et tout $\delta>0$, $$\boxed{\displaystyle \mathbb{P}\bigl(\left\lvert X-\mu\right\rvert\geq\delta\bigr) \leq\frac{V}{\delta^2}.}$$ Elle donne une majoration valable même lorsque la loi exacte de $X$ est inconnue. Si $V/\delta^2>1$, la borne est simplement trop grande pour être informative : toute probabilité est déjà inférieure ou égale à $1$.

Exemple entièrement détaillé

Une variable $X$ vérifie $\mathbb{E}(X)=10$ et $\mathop{\mathrm V}(X)=4$. On cherche une majoration de la probabilité que $X$ s’éloigne d’au moins $3$ de son espérance.

1. On identifie $\mu=10$, $V=4$ et $\delta=3$.

2. On applique l’inégalité : $$\mathbb{P}(\left\lvert X-10\right\rvert\geq3)\leq\frac4{3^2}=\frac49.$$

3. On peut aussi formuler le complément : $$\mathbb{P}(\left\lvert X-10\right\rvert<3)\geq1-\frac49=\frac59.$$

La première phrase est une borne de risque ; la seconde donne une garantie probabiliste minimale pour être dans l’intervalle $]7,13[$.

Fiche 03 / 06

2. Concentration d’une moyenne

L’inégalité de concentration

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables indépendantes de même loi, d’espérance $\mu$ et de variance $V$, et $$M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}.$$ Comme $\mathop{\mathrm V}(M_n)=V/n$, l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev appliquée à $M_n$ donne, pour tout $\delta>0$, $$\boxed{\displaystyle \mathbb{P}\bigl(\left\lvert M_n-\mu\right\rvert\geq\delta\bigr) \leq\frac{V}{n\delta^2}.}$$ La borne est divisée par $n$ : plus l’échantillon est grand, plus le risque majoré diminue.

Déterminer une taille d’échantillon

Si l’on veut garantir par cette inégalité un risque au plus $\alpha>0$, il suffit d’imposer $$\frac{V}{n\delta^2}\leq\alpha.$$ Comme tous les nombres sont positifs : $$\boxed{\displaystyle n\geq\frac{V}{\alpha\delta^2}.}$$ La taille $n$ étant entière, on choisit le plus petit entier supérieur ou égal au quotient.

Exemple entièrement détaillé

Une variable de Bernoulli a $p=0{,}6$. On considère la moyenne $M_n$ de $n$ essais indépendants. On veut $$\mathbb{P}(\left\lvert M_n-0{,}6\right\rvert\geq0{,}05)\leq0{,}05.$$

1. La variance d’une Bernoulli vaut $$V=p(1-p)=0{,}6\times0{,}4=0{,}24.$$

2. On impose la borne de concentration : $$\frac{0{,}24}{n(0{,}05)^2}\leq0{,}05.$$

3. Comme $(0{,}05)^2=0{,}0025$, cela devient $$\frac{0{,}24}{0{,}0025n}\leq0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{96}{n}\leq0{,}05.$$

4. On obtient $$n\geq\frac{96}{0{,}05}=1920.$$

La taille suffisante fournie par cette méthode est $\boxed{n=1920}$. Elle peut être prudente : l’inégalité est universelle et pas toujours optimale.

Fiche 04 / 06

3. Loi des grands nombres et simulation

Énoncé et sens

Pour tout $\delta>0$, $$\mathbb{P}\bigl(\left\lvert M_n-\mu\right\rvert\geq\delta\bigr) \leq\frac{V}{n\delta^2}\longrightarrow0 \quad\text{lorsque }n\longrightarrow+\infty.$$ On en déduit la loi des grands nombres : $$\boxed{\displaystyle \mathbb{P}\bigl(\left\lvert M_n-\mu\right\rvert<\delta\bigr)\longrightarrow1.}$$ La moyenne d’un grand échantillon se rapproche donc de l’espérance avec une probabilité de plus en plus grande.

Cette phrase ne dit pas que chaque moyenne finie est exactement égale à $\mu$, ni qu’aucune réalisation ne pourra s’en écarter. Elle décrit l’évolution d’une probabilité quand la taille de l’échantillon augmente.

Observer sans confondre observer et prouver

Une simulation peut produire plusieurs moyennes $M_n$, puis calculer la proportion de celles qui vérifient $\left\lvert M_n-\mu\right\rvert<\delta$. Cette proportion devrait se rapprocher de la probabilité du modèle lorsque le nombre de simulations augmente. Elle illustre la loi des grands nombres, mais l’inégalité fournit la justification mathématique demandée au programme.

from random import random

def moyenne_bernoulli(n, p):
    total = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            total = total + 1
    return total / n

À retenirLa concentration porte sur la moyenne $M_n$, pas sur une observation isolée. Pour une précision $\delta$ et un risque $\alpha$, la méthode de Tchebychev fournit la condition $n\geq V/(\alpha\delta^2)$. C’est une taille suffisante, pas forcément la plus petite taille réelle.

Fiche 05 / 06

4. Exercices gradués

Les corrections détaillées sont dans le fascicule séparé.

Fiche 06 / 06

Bilan et rappel différé

Erreurs fréquentes

• Utiliser $\sigma$ à la place de $V$ dans la formule de Tchebychev.

• Diviser l’écart type de la moyenne par $n$ au lieu de $\sqrt n$.

• Oublier que $\delta$ doit être strictement positif.

• Affirmer une certitude à partir d’une probabilité élevée.

• Présenter $V/(n\delta^2)$ comme la probabilité exacte.

• Arrondir une taille d’échantillon vers le bas.

Auto-évaluation

Rappel différé

R1. Si $V=2$ et $\delta=1$, quelle borne donne Bienaymé–Tchebychev ?

R2. Quelle est la variance de la moyenne de $n$ observations indépendantes de variance $V$ ?

R3. Pour une précision fixée, que devient la borne lorsque $n$ double ?

R4. Reformuler la loi des grands nombres en utilisant $\mathbb{P}(\left\lvert M_n-\mu\right\rvert<\delta)$.

En cas de blocage. Écrire d’abord $\mu$, $V$, $\delta$, $n$ et $\alpha$ sur une ligne. Ensuite seulement remplacer dans la formule ; la plupart des erreurs viennent d’une confusion entre ces cinq rôles.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.