Corrections · Vocabulaire ensembliste et logique

Terminale · Spécialité mathématiques · Chapitre 18

Corrections expliquées.
Vocabulaire ensembliste et logique.

À consulter après une première recherche personnelle.

Commencer par le diagnosticDiagnostic · exercices · rappels

Utilisation. Cherche d’abord dans le fascicule du cours. Lis son indice si tu es bloquée, puis compare ta démarche avec la correction complète. Une réponse formulée autrement peut être correcte si elle respecte les données et si elle est justifiée. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels du baccalauréat.

Fiche 01 / 04

Diagnostic : réponses et rappels ciblés

Correction D1

2∈E2\in E est vraie car 22 figure dans la liste. 3∈E3\in E est fausse car 33 n’y figure pas.

Correction D2

A={1,2}A=\{1,2\} contient seulement des éléments de E={1,2,4}E=\{1,2,4\}. Donc A⊆E.\boxed{A\subseteq E}.

Correction D3

x∈[1,4[⇔1≤x<4.x\in[1,4[\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{1\leq x<4}. Le 11 est inclus et le 44 est exclu.

Correction D4

Les éléments communs sont ceux qui apparaissent dans les deux listes : A∩B={3},A∪B={1,2,3,4}.\boxed{A\cap B=\{3\}},\qquad \boxed{A\cup B=\{1,2,3,4\}}.

Correction D5

La négation de x≥2x\geq2 est x<2.\boxed{x<2}. La frontière 22 est comprise dans la première proposition, mais pas dans sa négation.

Correction D6

Si n=4kn=4k, alors n=2(2k)n=2(2k), donc nn est pair. L’implication est vraie. Sa réciproque « si nn est pair, alors nn est divisible par 44 » est fausse : n=2n=2 est pair mais n’est pas divisible par 44.

Point de méthodeUne inclusion se vérifie élément par élément. Une implication se réfute par un contre-exemple où l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse.

Fiche 02 / 04

Corrections des exercices 1 à 5

Correction 1 — 1

2∈E est vraie,4∈E est fausse,2\in E\text{ est vraie},\qquad 4\in E\text{ est fausse}, A⊆E est vraie.A\subseteq E\text{ est vraie}. La phrase 2⊆E2\subseteq E est mal formée dans ce contexte : 22 est un élément, pas un ensemble à comparer par inclusion. Si l’on force une réponse vrai/faux, elle est fausse comme affirmation d’inclusion.

Correction 2 — 2

Les éléments communs à AA et BB sont 22 et 44 : A∩B={2,4}.\boxed{A\cap B=\{2,4\}}. En réunissant les éléments sans répétition : A∪B={1,2,3,4}.\boxed{A\cup B=\{1,2,3,4\}}. Dans EE, les éléments qui ne sont pas dans BB sont 11 et 55 : B¯=E\B={1,5}.\boxed{\overline B=E\setminus B=\{1,5\}}.

Correction 3 — 3

I=]−2,3]={x∈ℝ∣−2<x≤3}.I=]-2,3]=\boxed{\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x\leq3\}}. Son complémentaire dans ℝ\mathbb{R} contient les réels qui ne vérifient pas cette double inégalité : ℝ\I=]−∞,−2]∪]3,+∞[.\boxed{\mathbb{R}\setminus I=]-\infty,-2]\cup]3,+\infty[}. Le −2-2 appartient au complémentaire car il n’appartient pas à II, tandis que 33 n’y appartient pas.

Correction 4 — 4

Le premier élément de chaque couple vient de AA : A×B={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b)}.\boxed{A\times B=\{(0,a),(0,b),(1,a),(1,b)\}}. En inversant les rôles : B×A={(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}.\boxed{B\times A=\{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)\}}. Chaque produit contient 2×2=42\times2=\boxed4 couples. Les couples des deux produits ne sont pas les mêmes objets, car leur ordre n’est pas le même.

Correction 5 — 5

a) L’intervalle [1,4][1,4] contient ses deux bornes. Sa négation est x<1 ou x>4.\boxed{x<1\text{ ou }x>4}. b) La négation de « x>0x>0 et y≤2y\leq2 » est x≤0 ou y>2.\boxed{x\leq0\text{ ou }y>2}. c) La négation de « pour tout entier nn, n2≥0n^2\geq0 » est il existe un entier n tel que n2<0.\boxed{\text{il existe un entier }n\text{ tel que }n^2<0}. Cette dernière proposition est fausse dans les entiers, mais elle est bien la négation logique de la phrase proposée.

Fiche 03 / 04

Corrections des exercices 6 à 10

Correction 6 — 6

a) Si nn est multiple de 66, il existe un entier kk tel que n=6kn=6k. Alors n=6k=3(2k),n=6k=3(2k), donc nn est multiple de 33. b) La réciproque est : « si nn est multiple de 33, alors nn est multiple de 66 ». Elle est fausse avec n=3n=3, qui est multiple de 33 mais pas de 66. c) La contraposée est : « si nn n’est pas multiple de 33, alors nn n’est pas multiple de 66 ». Elle est vraie et équivalente à l’implication initiale.

Correction 7 — 7

Si PP est vraie, x=2x=2, alors x2=4x^2=4, donc QQ est vraie. Ainsi PP est une condition suffisante de QQ, et QQ est une condition nécessaire de PP. En revanche, QQ n’est pas une condition suffisante de PP, car x=−2x=-2 vérifie x2=4x^2=4 mais pas x=2x=2. La bonne équivalence serait x2=4⇔x=2 ou x=−2x^2=4\Longleftrightarrow x=2\text{ ou }x=-2.

Correction 8 — 8

Tout entier nn est soit pair, soit impair :

  • si n=2kn=2k, alors n2=4k2=2(2k2)n^2=4k^2=2(2k^2) est pair ;

  • si n=2k+1n=2k+1, alors n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 est impair.

Les deux cas sont exclusifs et couvrent tous les entiers. Le carré est donc pair lorsque l’entier est pair et impair lorsque l’entier est impair.

Correction 9 — 9

Posons P(n)P(n) : « 1+3+⋯+(2n−1)=n21+3+\cdots+(2n-1)=n^2 ».

Initialisation. Pour n=1n=1, 1=12.1=1^2. La propriété est vraie au premier rang.

Hérédité. Supposons, pour un entier k≥1k\geq1, que 1+3+⋯+(2k−1)=k2.1+3+\cdots+(2k-1)=k^2. Alors 1+3+⋯+(2k−1)+(2(k+1)−1)=k2+(2k+1)=(k+1)2.\begin{aligned} 1+3+\cdots+(2k-1)+(2(k+1)-1) &=k^2+(2k+1)\\ &=(k+1)^2. \end{aligned} La propriété est donc vraie au rang k+1k+1.

Conclusion. Par récurrence, l’égalité est vraie pour tout n≥1n\geq1.

Correction 10 — 10

a) L’implication est fausse, car x=−3x=-3 vérifie x2=9x^2=9, mais x≠3x\neq3.

b) La phrase est universelle et contient une implication. Sa négation est : il existe un réel x tel que x2=9 et x≠3.\boxed{\text{il existe un réel }x\text{ tel que }x^2=9\text{ et }x\neq3}. Le contre-exemple x=−3x=-3 réalise précisément cette négation.

c) Une implication vraie est si x2=9, alors x=3 ou x=−3.\boxed{\text{si }x^2=9,\text{ alors }x=3\text{ ou }x=-3}. On peut aussi écrire x2=9⇒|x|=3x^2=9\Longrightarrow\left\lvert x\right\rvert=3.

Point de méthodeDans une correction logique, nommer la méthode : liste, contre-exemple, complémentaire, contraposée, disjonction des cas ou récurrence. Le lecteur doit voir pourquoi la phrase obtenue répond exactement à la question.

Fiche 04 / 04

Rappel différé : corrections

Correction R1

x∈Ax\in A signifie que xx est un élément de AA. La phrase A⊆EA\subseteq E signifie que chaque élément de AA est aussi un élément de EE. Le premier symbole compare un élément et un ensemble ; le second compare deux ensembles.

Correction R2

La phrase « x≤3x\leq3 et x>−1x>-1 » a pour négation x>3 ou x≤−1.\boxed{x>3\text{ ou }x\leq-1}. On applique la règle : la négation de « et » devient « ou », et chaque inégalité est niée.

Correction R3

x=−2x=-2 est un contre-exemple : (−2)2=4(-2)^2=4, mais −2≠2-2\neq2.

Correction R4

Il faut vérifier l’initialisation, puis démontrer l’hérédité avant d’écrire la conclusion par récurrence.