Vocabulaire ensembliste et logique.
Lire précisément les objets

Fiche 01 / 08

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée : 12 minutes, sans calculatrice. Le but est de repérer les symboles qui demandent un rappel.

1. Pour $E=\{1,2,4\}$, dire si $2\in E$ et si $3\in E$.

2. Dire si $\{1,2\}\subseteq E$.

3. Traduire $x\in[1,4[$ en inégalités.

4. Avec $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4\}$, déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.

5. Nier la phrase « $x\geq2$ ».

6. La proposition « si un entier est divisible par $4$, alors il est pair » est-elle vraie ? Sa réciproque est-elle vraie ?

Corrections du diagnostic →

Rappels ciblés

Les accolades décrivent un ensemble, et $\in$ se lit « appartient à ». Le symbole $\subseteq$ compare deux ensembles : $A\subseteq B$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $B$. On ne compare pas un élément et un ensemble avec le même symbole.

Une proposition est une phrase qui peut être vraie ou fausse. Une implication « si $P$, alors $Q$ » ne dit pas que $P$ est réalisée ; elle dit que toute réalisation de $P$ entraîne $Q$.

À retenirLire les symboles en mots avant de calculer : $\in$ compare un élément à un ensemble, $\subseteq$ compare deux ensembles, et $\cap$ ou $\cup$ produisent de nouveaux ensembles. Pour une phrase logique, identifier l’hypothèse, la conclusion et la négation demandée.

Fiche 02 / 08

1. Ensembles, opérations et intervalles

Éléments et sous-ensembles

Un ensemble est une collection d’objets. On écrit $E=\{1,2,4\}$. L’ordre d’écriture n’a pas d’importance et un élément n’est pas répété : $$\{1,2,4\}=\{4,2,1\},\qquad \{1,1,2\}=\{1,2\}.$$ L’ensemble vide est noté $\varnothing$. Une partie $A$ de $E$ est un sous-ensemble, noté $A\subseteq E$, si chaque élément de $A$ est dans $E$.

Réunion, intersection et complémentaire

Pour $A$ et $B$ : $$\begin{aligned} A\cup B&=\{x\mid x\in A\text{ ou }x\in B\},\\ A\cap B&=\{x\mid x\in A\text{ et }x\in B\}. \end{aligned}$$ Le « ou » inclusif autorise un élément appartenant aux deux ensembles. Si $A\subseteq E$, le complémentaire de $A$ dans $E$ est $$\overline A=E\setminus A=\{x\in E\mid x\notin A\}.$$

Exemple entièrement détaillé

Prenons $$E=\{1,2,3,4,5,6\},\quad A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{3,4,5\}.$$

1. Les éléments communs sont $3$ et $4$, donc $$A\cap B=\{3,4\}.$$

2. En rassemblant sans répétition, on obtient $$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}.$$

3. Les éléments de $E$ absents de $A$ sont $5$ et $6$, donc $$\overline A=E\setminus A=\{5,6\}.$$

La phrase « $5\in\overline A$ » est vraie, alors que « $2\in\overline A$ » est fausse.

Ensembles de nombres et intervalles

Les notations usuelles sont $$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{D}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R},$$ où $\mathbb{D}$ désigne les nombres décimaux et $\mathbb{Q}$ les nombres rationnels. Les crochets indiquent si une borne est incluse : $$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\},\qquad ]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}.$$ Un crochet tourné vers l’extérieur signifie que la borne n’est pas incluse : $[a,b[$ signifie $a\leq x<b$. On peut écrire une réunion d’intervalles pour décrire plusieurs zones.

Fiche 03 / 08

2. Couples, produits cartésiens et fonctions

N-uplets et produit cartésien

Un couple $(x,y)$ est ordonné : en général $(x,y)\neq(y,x)$. Le produit cartésien $A\times B$ est l’ensemble des couples dont le premier élément vient de $A$ et le second de $B$ : $$A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\text{ et }y\in B\}.$$ Un triplet $(x,y,z)$, puis un $n$-uplet, ordonne de la même manière plusieurs composantes.

Exemple entièrement détaillé

Si $A=\{1,2\}$ et $B=\{a,b,c\}$, alors $$A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}.$$ Il y a $2\times3=6$ couples. En revanche, $B\times A$ contient des couples comme $(a,1)$, qui ne sont pas les mêmes objets.

Fonction, image et antécédent

Une fonction $f$ de $A$ vers $B$ associe à chaque élément $x$ de $A$ une unique image $f(x)$ dans $B$. L’ensemble $A$ est le domaine de départ et $B$ l’ensemble d’arrivée.

On peut lire une fonction comme un ensemble de couples $$\{(x,f(x))\mid x\in A\}\subseteq A\times B.$$ Un élément de $B$ peut ne posséder aucun antécédent, ou plusieurs. La fonction est injective si deux antécédents différents n’ont jamais la même image, et surjective si tout élément de $B$ a au moins un antécédent. Elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective : chaque élément de $B$ a alors exactement un antécédent.

Composition

Si $f:A\to B$ et $g:B\to C$, on peut composer : $$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$ On applique $f$ en premier, puis $g$. L’ordre est important.

Fiche 04 / 08

3. Propositions, connecteurs et négations

Proposition et variables

Une proposition est une phrase à laquelle on peut attribuer vrai ou faux. Par exemple, $P$ : « $7$ est premier » est vraie. Une phrase comme « $x>2$ » dépend de la valeur de $x$ ; elle devient une proposition lorsqu’on précise $x$, ou lorsqu’on la quantifie.

Les connecteurs se lisent :

• $P$ et $Q$ : les deux propositions sont vraies ;

• $P$ ou $Q$ : au moins l’une des deux est vraie ;

• non $P$, noté parfois $\neg P$ : $P$ est fausse.

Nier correctement

Nier une proposition signifie construire une proposition vraie exactement lorsque la première est fausse : $$\text{non}(P\text{ et }Q) =\text{non }P\text{ ou non }Q,$$ $$\text{non}(P\text{ ou }Q) =\text{non }P\text{ et non }Q.$$ Pour les inégalités : $$\text{non}(x\geq2)\Longleftrightarrow x<2,\qquad \text{non}(x>2)\Longleftrightarrow x\leq2.$$ Les bornes changent donc de stricteté.

Quantificateurs

« Pour tout réel $x$, $P(x)$ » se note $\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)$. « Il existe un réel $x$ tel que $P(x)$ » se note $\exists x\in\mathbb{R},\ P(x)$. Les symboles sont utiles, mais le programme demande surtout de savoir lire et écrire ces phrases en français.

La négation inverse le quantificateur : $$\text{non}\bigl(\forall x,\ P(x)\bigr) \Longleftrightarrow\exists x,\ \text{non }P(x),$$ $$\text{non}\bigl(\exists x,\ P(x)\bigr) \Longleftrightarrow\forall x,\ \text{non }P(x).$$ Pour réfuter « pour tout », un seul contre-exemple suffit. Pour prouver « pour tout », il faut un raisonnement qui couvre tous les cas.

Fiche 05 / 08

4. Implication, équivalence et conditions

Implication et réciproque

L’implication $P\Longrightarrow Q$ signifie : si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie. Pour montrer qu’une implication est fausse, il suffit de trouver un exemple où $P$ est vraie et $Q$ fausse.

La réciproque est $Q\Longrightarrow P$. Elle n’est pas automatiquement vraie. La contraposée est $\text{non }Q\Longrightarrow\text{non }P$, et elle est toujours équivalente à l’implication initiale.

Exemple entièrement détaillé

Soit $n$ un entier.

Implication. Si $n$ est divisible par $4$, alors $n$ est pair. En effet, $n=4k=2(2k)$ pour un entier $k$, donc $n$ est divisible par $2$.

Réciproque. « Si $n$ est pair, alors $n$ est divisible par $4$ » est fausse : $n=2$ est pair mais n’est pas divisible par $4$.

Contraposée. La contraposée est « si $n$ n’est pas pair, alors $n$ n’est pas divisible par $4$ ». Elle est vraie et équivalente à l’implication initiale.

Nécessaire, suffisant et équivalence

Dans $P\Longrightarrow Q$ :

• $P$ est une condition suffisante de $Q$ ;

• $Q$ est une condition nécessaire de $P$.

Une équivalence $P\Longleftrightarrow Q$ signifie les deux implications $P\Longrightarrow Q$ et $Q\Longrightarrow P$. Pour la démontrer, on peut faire deux sens séparés ou transformer une égalité par une suite d’équivalences justifiées.

Raisonnements usuels

• Disjonction des cas : séparer des cas qui couvrent toutes les possibilités, puis conclure dans chaque cas.

• Contraposée : remplacer $P\Longrightarrow Q$ par sa contraposée lorsque la négation est plus facile.

• Absurde : supposer la conclusion fausse et obtenir une contradiction avec les hypothèses.

• Contre-exemple : une proposition universelle fausse est réfutée par un seul exemple.

Fiche 06 / 08

5. Démonstration par récurrence

L’idée

Pour montrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, on procède en deux étapes :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.

2. Hérédité : montrer que, pour un entier $k\geq n_0$, si $P(k)$ est vraie alors $P(k+1)$ est vraie.

On conclut que $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$. L’hypothèse $P(k)$ sert uniquement à démontrer l’étape suivante : elle n’est pas une égalité à résoudre.

Exemple entièrement détaillé

Montrons, pour tout $n\geq1$, que $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$ On appelle $P(n)$ cette égalité.

Initialisation. Pour $n=1$, $$1=\frac{1(1+1)}2=1.$$ La propriété $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(k)$ vraie pour un entier $k\geq1$ : $$1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2.$$ Alors $$\begin{aligned} 1+2+\cdots+k+(k+1) &=\frac{k(k+1)}2+(k+1)\\ &=(k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right)\\ &=\frac{(k+1)(k+2)}2. \end{aligned}$$ C’est exactement la formule au rang $k+1$. La propriété est héréditaire.

Conclusion. La formule est vraie pour tout entier $n\geq1$.

À retenirUne implication ne permet pas d’inverser automatiquement la conclusion. Pour une preuve par récurrence, écrire les trois mots initialisation, hérédité, conclusion, et remplacer chaque étape par un calcul justifié.

Fiche 07 / 08

6. Exercices gradués

Les corrections détaillées sont dans le fascicule séparé.

Fiche 08 / 08

Bilan et rappel différé

Erreurs fréquentes

• Écrire $2\subseteq E$ au lieu de $2\in E$.

• Confondre l’intersection (« et ») et la réunion (« ou »).

• Inclure une borne d’intervalle malgré un crochet ouvert.

• Inverser une implication sans vérifier sa réciproque.

• Prendre un exemple favorable comme preuve d’une affirmation universelle.

• Nier « et » en gardant « et », ou nier « pour tout » sans introduire un contre-exemple.

• Faire une récurrence sans initialisation ou sans utiliser explicitement l’hypothèse de rang $k$.

Auto-évaluation

Rappel différé

R1. Quelle différence entre $x\in A$ et $A\subseteq E$ ?

R2. Nier « $x\leq3$ et $x>-1$ ».

R3. Donner un contre-exemple à l’implication « si $x^2=4$, alors $x=2$ ».

R4. Quelles sont les deux étapes indispensables d’une récurrence avant la conclusion ?

En cas de blocage. Réécrire la phrase en français courant, entourer les mots « tout », « existe », « et », « ou », « si », « alors », puis traduire un seul symbole à la fois.

Cadre et références

Hypothèse de travail : terminale générale, spécialité mathématiques, session 2027 supposée ; l’échéance exacte reste à confirmer. Les exercices sont des créations pédagogiques ; ils ne sont pas présentés comme des sujets officiels.

Programme de référence : programme de spécialité de terminale, Bulletin officiel spécial n^o 8 du 25 juillet 2019.

Le programme publié au Bulletin officiel n^o 14 du 2 avril 2026 s’appliquera en terminale à partir de la rentrée 2027–2028 ; il est signalé ici sans être utilisé.

Les pages du Bulletin officiel ont renvoyé une erreur HTTP 403 lors de la vérification du 3 octobre 2026 ; le cadre repris est celui déjà présent dans les fascicules LaTeX du chapitre.