Vecteurs, droites
et plans de l’espace.

Fiche 01 / 08

Avant de commencer : diagnostic et rappels

Durée indicative : 12 minutes, sans note et sans calculatrice. Ce diagnostic sert à repérer les prérequis utiles, pas à attribuer une note. Si une question bloque, écrire simplement « à revoir » et continuer. Les réponses sont dans le fascicule séparé des corrections.

1. Dans un repère de l’espace, que signifie le point $A\left(2\,;\,-1\,;\,3\right)$ ? Nommer ses trois coordonnées.

2. Avec $A\left(1\,;\,2\,;\,-1\right)$ et $B\left(4\,;\,0\,;\,3\right)$, calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.

3. Simplifier le vecteur $2(1;-2;3)+(-1;4;0)$.

4. Les vecteurs $\vec u=(2;-1;0)$ et $\vec v=(-4;2;0)$ sont-ils colinéaires ? Justifier par un nombre multiplicatif.

5. Résoudre l’équation $3t-5=7$.

6. Le point $M\left(1\,;\,2\,;\,4\right)$ appartient-il au plan d’équation $x-y+z-3=0$ ? Traduire la question en un calcul.

Les rappels indispensables

Coordonnées. Un point de l’espace est repéré par trois nombres. Dans un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, le point $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$ signifie que l’on part de l’origine $O$, que l’on se déplace de $x_A$ unités selon le premier axe, de $y_A$ unités selon le deuxième, puis de $z_A$ unités selon le troisième.

Calcul littéral. Une équation se transforme en conservant l’égalité. Par exemple : $$3t-5=7 \quad\Longleftrightarrow\quad 3t=12 \quad\Longleftrightarrow\quad t=4.$$ Le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie que les deux phrases ont les mêmes solutions.

Produit par un nombre. Pour multiplier un vecteur par un nombre, on multiplie chacune de ses coordonnées. Ainsi $$2(1;-2;3)=(2;-4;6).$$

Équation d’un plan. Pour vérifier si un point appartient au plan $ax+by+cz+d=0$, on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées du point. Si l’égalité est vraie, le point appartient au plan.

À retenir

Dans toute la géométrie de l’espace, une coordonnée correspond à une direction. Lire les trois coordonnées séparément avant de commencer un calcul évite de mélanger les axes.

Corrections du diagnostic →

Fiche 02 / 08

1. Comprendre et calculer avec les vecteurs

L’idée essentielle : un vecteur décrit un déplacement

Un vecteur ne représente pas seulement une flèche dessinée à un endroit précis. Il décrit un déplacement : une direction, un sens et une longueur. On peut donc faire glisser un vecteur sans le changer.

Si $A$ et $B$ sont deux points, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ décrit le déplacement qui mène de $A$ à $B$. Dans un repère, ses coordonnées se calculent en faisant « arrivée moins départ » dans chaque direction : $$\boxed{\overrightarrow{AB}=\bigl(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A\bigr).}$$

Exemple entièrement détaillé

On considère $A\left(1\,;\,-2\,;\,3\right)$ et $B\left(4\,;\,0\,;\,-1\right)$. Pour aller de $A$ vers $B$, on compare chaque coordonnée : $$\begin{aligned} x_B-x_A&=4-1=3,\\ y_B-y_A&=0-(-2)=2,\\ z_B-z_A&=-1-3=-4. \end{aligned}$$ Ainsi, $$\overrightarrow{AB}=(3;2;-4).$$ Le déplacement augmente la première coordonnée de 3, la deuxième de 2 et diminue la troisième de 4.

Égalité, addition et relation de Chasles

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes coordonnées. Ils peuvent être placés à des endroits différents : ce qui compte est le déplacement décrit.

On additionne deux vecteurs coordonnée par coordonnée : $$(a;b;c)+(a';b';c')=(a+a';b+b';c+c').$$ De même, pour un nombre réel $\lambda$, $$\lambda(a;b;c)=(\lambda a;\lambda b;\lambda c).$$

Pour trois points $A$, $B$ et $C$, la relation de Chasles traduit un trajet en deux étapes : $$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.}$$ Elle est utile pour remplacer un déplacement direct par deux déplacements successifs, ou l’inverse.

Exemple entièrement détaillé

On donne $A\left(-2\,;\,1\,;\,3\right)$, $B\left(1\,;\,-3\,;\,5\right)$ et $C\left(4\,;\,0\,;\,2\right)$. Calculons les deux vecteurs qui composent le trajet de $A$ à $C$ : $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-(-2);-3-1;5-3)=(3;-4;2),\\ \overrightarrow{BC}&=(4-1;0-(-3);2-5)=(3;3;-3). \end{aligned}$$ Alors $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3;-4;2)+(3;3;-3)=(6;-1;-1).$$ Calculons directement : $$\overrightarrow{AC}=(4-(-2);0-1;2-3)=(6;-1;-1).$$ Les deux calculs donnent bien le même vecteur, ce qui vérifie Chasles.

Milieu et combinaison de vecteurs

Le milieu $I$ d’un segment $[AB]$ est le point situé à mi-chemin entre $A$ et $B$. Ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées de $A$ et de $B$ : $$\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).}$$

Cette formule vient de l’égalité $$\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$ Plus généralement, une expression comme $2\vec u-3\vec v$ se calcule en effectuant d’abord les multiplications, puis l’addition coordonnée par coordonnée.

Exemple entièrement détaillé

Soient $A\left(2\,;\,-1\,;\,4\right)$ et $B\left(-2\,;\,3\,;\,0\right)$. Le milieu $I$ est $$\begin{aligned} I&=\left(\frac{2+(-2)}2;\frac{-1+3}2;\frac{4+0}2\right)\\ &= (0;1;2). \end{aligned}$$ Contrôle : $$\overrightarrow{AI}=(0-2;1-(-1);2-4)=(-2;2;-2),$$ et $$\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12(-4;4;-4)=(-2;2;-2).$$ Les deux vecteurs sont égaux : le point calculé est bien le milieu.

À retenir

Pour calculer $\overrightarrow{AB}$, écrire systématiquement « arrivée moins départ ». Pour additionner des vecteurs, ne jamais mélanger les coordonnées : première avec première, deuxième avec deuxième, troisième avec troisième.

Fiche 03 / 08

2. Colinéarité, longueurs et produit scalaire

Reconnaître des vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $$\vec v=\lambda\vec u.$$ Lorsque les deux vecteurs sont non nuls, ils ont alors la même direction, éventuellement en sens opposé. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, car $\vec 0=0\vec u$.

Pour tester la colinéarité, on cherche un même facteur dans les trois coordonnées. Il faut éviter de diviser par une coordonnée qui serait nulle. L’égalité coordonnée par coordonnée est plus sûre : $$(v_1;v_2;v_3)=\lambda(u_1;u_2;u_3)$$ signifie les trois égalités $v_1=\lambda u_1$, $v_2=\lambda u_2$ et $v_3=\lambda u_3$.

Pour trois points $A$, $B$ et $C$, $$A, B, C\text{ sont alignés} \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont colinéaires}.$$

Exemple entièrement détaillé

On considère $\vec u=(2;-1;3)$ et $\vec v=(-6;3;-9)$. On cherche un facteur à partir de la première coordonnée : $$-6=(-3)\times2.$$ On vérifie les deux autres coordonnées : $$(-3)\times(-1)=3,\qquad (-3)\times3=-9.$$ Donc $\vec v=-3\vec u$, et les deux vecteurs sont colinéaires. Le facteur négatif signifie que leurs sens sont opposés.

Norme et distance

Condition. Les formules de norme, de distance et de produit scalaire données ici supposent un repère orthonormé : trois axes perpendiculaires et des vecteurs de base de longueur 1.

La norme d’un vecteur est sa longueur. Si $\vec u=(a;b;c)$, alors $$\boxed{\left\lVert \vec u\right\rVert=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.}$$ Cette formule est une application du théorème de Pythagore dans l’espace.

La distance entre deux points est la norme du vecteur qui les relie : $$\boxed{AB=\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.}$$

Exemple entièrement détaillé

Pour $A\left(1\,;\,-2\,;\,0\right)$ et $B\left(4\,;\,2\,;\,-3\right)$, $$\overrightarrow{AB}=(3;4;-3).$$ La distance vaut donc $$\begin{aligned} AB&=\sqrt{3^2+4^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{9+16+9}=\sqrt{34}. \end{aligned}$$ On peut vérifier que la distance est positive, comme toute longueur.

Produit scalaire et orthogonalité

Pour $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(a';b';c')$, leur produit scalaire est $$\boxed{\vec u\mathbin{\cdot}\vec v=aa'+bb'+cc'.}$$ Le symbole « $\cdot$ » ne désigne pas une multiplication coordonnée par coordonnée : il donne un seul nombre.

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul : $$\vec u\perp\vec v\quad\Longleftrightarrow\quad \vec u\mathbin{\cdot}\vec v=0.$$ Par extension, deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux et se coupent.

Exemple entièrement détaillé

Soient $\vec u=(2;-1;2)$ et $\vec v=(1;2;0)$. On calcule : $$\begin{aligned} \vec u\mathbin{\cdot}\vec v &=2\times1+(-1)\times2+2\times0\\ &=2-2+0=0. \end{aligned}$$ Les vecteurs sont donc orthogonaux. L’annulation résulte des trois produits avec leurs signes ; il ne faut pas remplacer le produit scalaire par une somme des coordonnées.

À retenir

Colinéarité : un seul facteur $\lambda$ doit convenir aux trois coordonnées. Norme : on élève chaque coordonnée au carré avant d’additionner. Orthogonalité : le produit scalaire doit être nul.

Fiche 04 / 08

3. Décrire une droite de l’espace

Représentation paramétrique

Une droite est déterminée par un point et une direction. Soit $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$ un point et $\vec u=(a;b;c)$ un vecteur directeur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ est l’ensemble des points $M\left(x\,;\,y\,;\,z\right)$ tels qu’il existe un réel $t$ vérifiant $$\overrightarrow{AM}=t\vec u.$$ Ses équations paramétriques sont donc $$\boxed{ \begin{cases} x=x_A+ta,\\ y=y_A+tb,\\ z=z_A+tc, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.}$$

Le paramètre $t$ indique où se trouve le point sur la droite : $t=0$ correspond à $A$, $t=1$ correspond au point obtenu en ajoutant une fois le vecteur directeur, et des valeurs négatives donnent l’autre sens.

Exemple entièrement détaillé

Déterminons une représentation paramétrique de la droite passant par $A\left(1\,;\,2\,;\,-1\right)$ et $B\left(3\,;\,-1\,;\,2\right)$.

Un vecteur directeur est $$\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2;2-(-1))=(2;-3;3).$$ On part de $A$ et on ajoute $t\overrightarrow{AB}$ : $$\begin{cases} x=1+2t,\\ y=2-3t,\\ z=-1+3t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.$$ Contrôles : pour $t=0$, on retrouve $A$ ; pour $t=1$, on obtient $B$. Ces deux contrôles vérifient à la fois le point de départ et la direction.

Vérifier qu’un point appartient à une droite

Pour savoir si $P\left(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P\right)$ appartient à $d$, on cherche une même valeur de $t$ dans les trois équations. Une valeur trouvée dans une seule équation ne suffit pas.

Méthode

1. Remplacer $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $P$.

2. Résoudre les équations obtenues pour trouver un éventuel paramètre $t$.

3. Vérifier que la même valeur convient aux trois coordonnées.

Dans l’exemple précédent, testons $P\left(5\,;\,-4\,;\,5\right)$. La première équation donne $5=1+2t$, donc $t=2$. Les deux autres donnent alors $2-3\times2=-4$ et $-1+3\times2=5$. Le point appartient donc à la droite.

Positions relatives de deux droites

Pour comparer deux droites, on commence par comparer leurs vecteurs directeurs.

Pour chercher un point commun, on égalise les coordonnées des deux représentations et on résout le système. Il faut obtenir une valeur de $t$ et une valeur de $s$ qui conviennent aux trois coordonnées.

Exemple entièrement détaillé

On considère $$d:\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=2t\end{cases} \qquad\text{et}\qquad d':\begin{cases}x=4-2s\\y=-1+2s\\z=2\end{cases}.$$ Les vecteurs directeurs sont $(1;-1;2)$ et $(-2;2;0)$, qui ne sont pas colinéaires. Les droites sont donc soit sécantes, soit gauches.

On cherche un point commun. La troisième coordonnée donne $$2t=2,\qquad\text{donc}\qquad t=1.$$ La première coordonnée devient $$1+1=4-2s \quad\Longleftrightarrow\quad 2=4-2s \quad\Longleftrightarrow\quad s=1.$$ La deuxième coordonnée est bien vérifiée : $$2-1=1=-1+2\times1.$$ Le point commun est donc $I\left(2\,;\,1\,;\,2\right)$, obtenu pour $t=s=1$. Les deux droites sont sécantes.

À retenir

Une droite se décrit par « un point + un paramètre fois un vecteur directeur ». Pour un point commun, les paramètres peuvent être différents sur les deux droites : on doit chercher $t$ et $s$, pas imposer $t=s$.

Fiche 05 / 08

4. Décrire un plan de l’espace

Un plan avec deux directions

Un plan est déterminé par un point et deux directions non colinéaires. Soient $A$ un point, $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $\mathcal P$ est l’ensemble des points $M$ tels qu’il existe deux réels $s$ et $t$ avec $$\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v.$$ On obtient la représentation paramétrique $$\boxed{M=A+s\vec u+t\vec v,\qquad (s,t)\in\mathbb{R}^2.}$$ Les deux paramètres sont nécessaires : un seul paramètre décrit une droite, deux paramètres permettent de se déplacer dans deux directions du plan.

Exemple entièrement détaillé

On prend $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$, $\vec u=(1;1;0)$ et $\vec v=(0;1;1)$. Si $\vec v=\lambda\vec u$, la première coordonnée impose $0=\lambda\times1$, donc $\lambda=0$. Mais cela donnerait $\vec v=\vec 0$, alors que $\vec v=(0;1;1)$. Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

Pour un point $M\left(x\,;\,y\,;\,z\right)$ du plan, $$M=(1;0;2)+s(1;1;0)+t(0;1;1).$$ En calculant coordonnée par coordonnée : $$\boxed{ \begin{cases} x=1+s,\\ y=s+t,\\ z=2+t, \end{cases}\qquad (s,t)\in\mathbb{R}^2.}$$

Vérifions que $Q\left(2\,;\,3\,;\,4\right)$ appartient au plan. La première équation impose $2=1+s$, donc $s=1$. La troisième impose $4=2+t$, donc $t=2$. La deuxième donne alors $s+t=1+2=3$, ce qui convient. Ainsi $Q\in\mathcal P$.

Équation cartésienne et vecteur normal

Un vecteur $\vec n=(a;b;c)$ est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à toutes les directions de ce plan. Une équation cartésienne du plan s’écrit $$\boxed{ax+by+cz+d=0,}$$ où $(a;b;c)\ne(0;0;0)$. Le vecteur $(a;b;c)$ est un vecteur normal.

Si le plan passe par $A\left(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A\right)$, on peut écrire son équation à partir d’un vecteur normal : $$\boxed{a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.}$$

Pour aller plus loin (approfondissement possible du programme de 2019) : pour trouver un vecteur normal à partir de deux directions $\vec u$ et $\vec v$, on cherche un vecteur $\vec n=(a;b;c)$ tel que $$\vec n\mathbin{\cdot}\vec u=0 \qquad\text{et}\qquad \vec n\mathbin{\cdot}\vec v=0.$$ Cela donne un petit système d’équations. Il n’est pas nécessaire de retenir une formule supplémentaire : on traduit simplement « orthogonal aux deux directions ».

Exemple entièrement détaillé

Déterminons une équation du plan passant par $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$, $B\left(2\,;\,1\,;\,2\right)$ et $C\left(1\,;\,1\,;\,3\right)$.

Deux directions du plan sont $$\vec u=\overrightarrow{AB}=(1;1;0), \qquad \vec v=\overrightarrow{AC}=(0;1;1).$$ Cherchons $\vec n=(a;b;c)$. Les conditions d’orthogonalité donnent $$\begin{aligned} \vec n\mathbin{\cdot}\vec u=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a+b=0,\\ \vec n\mathbin{\cdot}\vec v=0&\quad\Longleftrightarrow\quad b+c=0. \end{aligned}$$ On peut choisir $b=-1$. Alors $a=1$ et $c=1$, donc $\vec n=(1;-1;1)$.

Le plan passe par $A$, donc $$\begin{aligned} 1(x-1)-1(y-0)+1(z-2)&=0,\\ x-y+z-3&=0. \end{aligned}$$ On contrôle les trois points : $$1-0+2-3=0,\qquad 2-1+2-3=0,\qquad 1-1+3-3=0.$$ L’équation obtenue est cohérente avec les données.

Vérifier l’appartenance à un plan

Pour un plan d’équation $ax+by+cz+d=0$, on remplace les trois coordonnées du point. Une seule égalité suffit, car l’équation décrit tout le plan.

Par exemple, pour le plan $x-y+z-3=0$ :

• $Q\left(2\,;\,3\,;\,4\right)$ appartient au plan car $2-3+4-3=0$ ;

• $R\left(2\,;\,3\,;\,5\right)$ n’y appartient pas car $2-3+5-3=1\ne0$.

Positions relatives de deux plans

Deux plans de l’espace peuvent être :

• confondus : ils ont une infinité de points communs, en fait tous leurs points ;

• parallèles distincts : ils n’ont aucun point commun ;

• sécants : leur intersection est une droite.

Pour le vérifier avec des équations, on peut résoudre le système formé par les deux équations. Si le système donne une droite à un paramètre, les plans sont sécants. S’il n’a aucune solution, ils sont parallèles distincts. S’ils ont la même équation après simplification, ils sont confondus.

Exemple entièrement détaillé

Cherchons l’intersection des plans $$\mathcal P: x+y+z=3, \qquad \mathcal P': x-y=1.$$ La seconde équation donne $y=x-1$. En remplaçant dans la première : $$x+(x-1)+z=3 \quad\Longleftrightarrow\quad z=4-2x.$$ On pose $x=1+t$, avec $t\in\mathbb{R}$. Alors $$y=t,\qquad z=2-2t.$$ L’intersection est donc la droite $$\boxed{\begin{cases} x=1+t,\\ y=t,\\ z=2-2t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.}$$ Elle passe par $(1;0;2)$ et a pour vecteur directeur $(1;1;-2)$.

À retenir

Deux paramètres décrivent un plan avec deux directions indépendantes. Une équation $ax+by+cz+d=0$ possède le vecteur normal $(a;b;c)$. Pour une intersection, traduire la géométrie en un système, puis interpréter l’ensemble des solutions.

Fiche 06 / 08

5. Droite et plan : trouver une intersection

Substituer les coordonnées de la droite

Pour étudier une droite $d$ et un plan $\mathcal P$, on remplace les coordonnées $x,y,z$ de la droite dans l’équation du plan. On obtient une équation portant sur le paramètre de la droite.

• Une unique valeur du paramètre donne un unique point d’intersection.

• Aucune valeur donne une droite parallèle au plan et extérieure à celui-ci.

• Une identité vraie pour tout paramètre signifie que la droite est contenue dans le plan.

Exemple entièrement détaillé

Soit $$d:\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=t\end{cases}, \qquad t\in\mathbb{R},$$ et le plan $\mathcal P$ d’équation $x-y+z-3=0$.

On remplace : $$\begin{aligned} x-y+z-3&=t-(1+t)+t-3\\ &=t-4. \end{aligned}$$ Le point de la droite est dans le plan lorsque $$t-4=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=4.$$ En reportant cette valeur dans la droite : $$I\left(4\,;\,5\,;\,4\right).$$ La droite et le plan sont donc sécants en $I$. Contrôle : $4-5+4-3=0$, comme attendu.

Lire la position à partir des directions

Si $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite et $\vec n$ un vecteur normal du plan :

• si $\vec u\mathbin{\cdot}\vec n=0$, la droite est parallèle au plan ou contenue dans le plan ; il faut tester un point de la droite pour les distinguer ;

• si $\vec u\mathbin{\cdot}\vec n\ne0$, la droite traverse le plan en un unique point.

La substitution dans l’équation du plan reste une méthode fiable pour obtenir le point d’intersection.

Une méthode générale de rédaction

Lorsqu’un exercice demande une position ou une intersection, suivre cette trame :

1. identifier les points, les vecteurs directeurs et, pour un plan cartésien, le vecteur normal ;

2. écrire la représentation ou l’équation sans sauter les coordonnées ;

3. traduire la question en égalités ou en un système ;

4. résoudre en conservant les paramètres et les unités éventuelles ;

5. revenir à la géométrie : point, droite, parallélisme, intersection ou impossibilité ;

6. contrôler le résultat dans les équations de départ.

À retenir

Un calcul n’est terminé que lorsque son résultat est interprété. Après avoir trouvé un paramètre, le remplacer dans les trois coordonnées et, si possible, dans l’équation du plan.

Fiche 07 / 08

6. Exercices gradués

Les exercices 1 à 3 vérifient les calculs de base. Les exercices 4 à 9 font travailler les représentations et les intersections. L’exercice 10 est une synthèse proche d’une rédaction attendue au bac, mais ce n’est pas un sujet officiel. Les indices sont volontairement courts ; les corrections détaillées se trouvent dans le fascicule séparé.

Pour aller plus loin. L’intersection de deux plans est un approfondissement possible du programme de 2019. L’exercice 9 reste proposé, après les bases.

Fiche 08 / 08

Bilan, erreurs fréquentes et rappel différé

La carte mentale du chapitre

Erreurs typiques à surveiller

• Écrire départ moins arrivée au lieu d’arrivée moins départ pour un vecteur.

• Utiliser deux facteurs différents pour conclure à la colinéarité.

• Confondre le produit scalaire, qui donne un nombre, avec un produit coordonnée par coordonnée.

• Décrire un plan avec une seule direction, ce qui ne décrit qu’une droite.

• Vérifier seulement deux coordonnées pour l’appartenance à une droite.

• Trouver un paramètre puis oublier de calculer les coordonnées du point.

• Donner une équation sans vérifier au moins les points ou les contraintes qui ont servi à la construire.

Auto-évaluation

Cocher une phrase après les exercices :

• Je sais calculer $\overrightarrow{AB}$ sans inverser départ et arrivée.

• Je sais expliquer avec mes mots ce qu’est un vecteur directeur.

• Je sais distinguer une représentation paramétrique de droite et de plan.

• Je sais reconnaître un vecteur normal dans une équation de plan.

• Je sais résoudre une intersection et vérifier le résultat.

Si une phrase reste difficile, reprendre uniquement la fiche correspondante et refaire l’exercice associé. Une difficulté localisée indique une notion à consolider, pas un échec de tout le chapitre.

Rappels différés, sans correction immédiate

Le lendemain. Avec $A\left(0\,;\,1\,;\,-2\right)$ et $B\left(3\,;\,-1\,;\,4\right)$, calculer $\overrightarrow{AB}$, sa norme et les coordonnées du milieu de $[AB]$.

Trois jours après. Les vecteurs $\vec u=(1;2;-1)$ et $\vec v=(-2;-4;2)$ sont-ils colinéaires ? Les vecteurs $\vec w=(1;0;1)$ et $\vec q=(1;1;-1)$ sont-ils orthogonaux ?

Une semaine après. Reprendre la droite passant par $A\left(2\,;\,-1\,;\,0\right)$ et $B\left(0\,;\,3\,;\,4\right)$, puis vérifier si $M\left(4\,;\,-5\,;\,-4\right)$ lui appartient. Expliquer enfin pourquoi l’équation $2x-y+z-4=0$ décrit un plan et donner son vecteur normal.

Les réponses expliquées de ces rappels, du diagnostic et des dix exercices sont dans le fascicule séparé corrections séparées.

En cas de blocage

Revenir à la question la plus concrète :

1. Quels sont les points et leurs coordonnées ?

2. Quelle direction ou quel objet cherche-t-on ?

3. Quelle égalité traduit cette demande ?

4. Quel calcul simple peut être contrôlé immédiatement ?

Écrire une étape correcte, même incomplète, permet souvent de faire apparaître la suivante. La rédaction et le contrôle font partie de la résolution, pas seulement de la présentation finale.

Réponses aux rappels différés →

Le cadre du cours et les sources

Adaptation HTML du cours local Vecteurs, droites et plans. Cadre retenu : terminale générale, spécialité mathématiques, année 2026–2027 ; bac 2027 supposé, l’échéance exacte n’étant pas précisée. Les exercices sont des créations pédagogiques.

Références vérifiées le 3 octobre 2026 : programme publié au Bulletin officiel du 25 juillet 2019 et arrêté publié le 2 avril 2026, applicable en terminale à la rentrée 2027–2028. Le chapitre reprend aussi des notions des sections « Orthogonalité et distances » et « Représentations paramétriques et équations cartésiennes ». Ce cours est une reprise progressive, pas une couverture exhaustive de tout le programme de géométrie.